Ruang Sampel & Peluang Dasar — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyusun ruang sampel secara sistematis dan menghitung peluang klasik suatu kejadian.

Saat melempar dua dadu di permainan ular tangga, kenapa angka 7 selalu muncul lebih sering daripada angka 12? Jawabannya bukan kebetulan, melainkan ada di ruang sampel: banyaknya cara membentuk tiap jumlah tidak sama. Peluang bukan ramalan, melainkan hitungan rapi atas semua hasil yang mungkin. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol Putar dan perhatikan frekuensi GAR dan GAM yang makin seimbang saat lemparan membesar.

Ruang sampel: semua hasil yang mungkin

Setiap percobaan acak punya daftar lengkap hasil yang mungkin, dan daftar itulah inti peluang. Untuk satu lemparan koin, hasilnya cuma dua: sisi GAR atau sisi GAM. Daftar lengkap itu $\{G, A\}$ disebut ruang sampel.

Ruang sampel ( $S$ ) adalah himpunan semua hasil mungkin dari sebuah percobaan acak. Tiap anggotanya disebut satu titik sampel.

Karena koin adil punya dua sisi, ruang sampelnya beranggotakan dua: $|S| = 2$ . Peluang muncul GAR adalah satu dari dua kemungkinan, jadi $P(GAR) = \tfrac{1}{2}$ . Inilah inti peluang klasik: bagi banyaknya hasil yang kamu inginkan dengan banyaknya seluruh hasil mungkin.

$P(A) = \frac{|A|}{|S|}$

Arti tiap simbol: $A$ = kejadian yang ditanyakan, $|A|$ = banyak anggota $A$ , $S$ = ruang sampel, $|S|$ = banyak seluruh hasil mungkin.

Ruang sampel satu dadu

Satu dadu punya enam sisi bertanda 1 sampai 6. Ruang sampelnya $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , sehingga $|S| = 6$ . Bila dadu adil, tiap mata berpeluang sama: $P(1) = P(2) = \cdots = P(6) = \tfrac{1}{6}$ .

Lemparkan dadu berkali-kali di bawah dan amati tiap batang. Karena keenam mata berpeluang sama, keenam batang seharusnya berhimpit di sekitar garis $\tfrac{1}{6} \approx 0,167$ .

Dua dadu: ruang sampel berisi 36 anggota

Sekarang lemparkan dua dadu sekaligus dan perhatikan jumlah kedua matanya. Ruang sampelnya bukan lagi enam, melainkan pasangan terurut: dadu pertama mana pun ( $6$ pilihan) dipasangkan dengan dadu kedua mana pun ( $6$ pilihan). Aturan perkalian memberi $6 \times 6 = 36$ anggota ruang sampel.

Inilah kunci mengapa jumlah 7 paling sering muncul. Pasangan yang berjumlah 7 ada enam: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ . Sedangkan jumlah 12 cuma bisa dari satu pasangan: $(6,6)$ . Maka $P(7) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$ , jauh lebih besar daripada $P(12) = \tfrac{1}{36}$ .

Jumlah	Pasangan penyusun	Banyak cara	Peluang
7	(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)	6	$\tfrac{6}{36}$
8	(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)	5	$\tfrac{5}{36}$
12	(6,6)	1	$\tfrac{1}{36}$

Lemparkan dua dadu massal di bawah; histogram berbentuk segitiga dengan puncak di 7 persis seperti ramalan tabel di atas.

Hukum bilangan besar: empirik menuju teoretis

Peluang teoretis dihitung lewat akal (pembagian $|A|/|S|$ ), sedangkan peluang empirik diukur lewat pengalaman: $\tfrac{\text{frekuensi } A}{\text{banyak percobaan}}$ . Pada beberapa lemparan, keduanya bisa berjauhan. Tetapi saat percobaan diperbanyak, frekuensi relatif menstabil di sekitar peluang teoretis — inilah hukum bilangan besar.

Peluang itu seperti janji jangka panjang. Sepuluh lempar koin bisa saja muncul 7 GAR dan 3 GAM — terlihat timpang. Tapi seribu lempar hampir selalu berimbang dekat 500-500. Makin panjang jalannya, makin terpegang janjinya.

Bandingkan dua preset di bawah: lempar sedikit, batangnya bergetar acak; lempar 10.000, keenam batang menempel rapi di garis $\tfrac{1}{6}$ .

Komplemen dan gabangan kejadian sederhana

Dua kejadian sering digabung atau dilawan. Komplemen kejadian $A$ adalah “bukan $A$ ”, dan peluangnya cukup $P(A^c) = 1 - P(A)$ . Misalnya peluang mata dadu bukan 1 adalah $1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$ . Sedangkan gabangan “mata 5 atau 6” menghitung anggota yang memenuhi salah satu: ada dua mata (5 dan 6), jadi $P(5 \text{ atau } 6) = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ .

Lemparkan dadu di bawah dan amati dua batang terkanan (mata 5 dan 6) yang bersama-sama menempati sekitar sepertiga dari seluruh lemparan — bukti empirik bagi peluang gabungan $\tfrac{1}{3}$ .

Soal peluang di TKA dan UTBK hampir selalu berputar pada satu hal: menyusun ruang sampel dengan benar lalu menghitung $|A|/|S|$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan data dan peluang sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: menganggap tiap jumlah dua dadu berpeluang sama — padahal jumlah 7 berpeluang enam kali lipat jumlah 12.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dua dadu adil dilempar bersama. Tentukan peluang jumlah kedua matanya sama dengan 8.

Setiap dadu ber-enam mata, jadi ruang sampelnya 36 pasangan terurut. $|S| = 6 \times 6 = 36$ .

Cari semua pasangan yang berjumlah 8: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ . Ada 5 pasangan, jadi $|A| = 5$ .

$P(A) = \dfrac{|A|}{|S|} = \dfrac{5}{36} \approx 0,139$ . Jadi peluang jumlah 8 adalah $\dfrac{5}{36}$ .

Latih soal sejenis dengan angka acak di bawah — hitung dulu di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: mengira tiap jumlah dua dadu berpeluang sama. Yang benar: tiap pasangan terurut (misal (3,5)) berpeluang sama $\tfrac{1}{36}$ , tetapi jumlah yang berbeda disusun oleh banyak pasangan berbeda — jumlah 7 punya 6 pasangan, jumlah 12 cuma 1.

Jebakan: menghitung peluang gabungan dengan menjumlahkan peluang tanpa cek irisan. Yang benar: untuk kejadian saling lepas (seperti “mata 5 atau 6” pada satu dadu), $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ; bila kejadian tumpang tindih, kurangi irisannya.

Ruang sampel $S$ adalah himpunan semua hasil mungkin; peluang klasik $P(A) = |A|/|S|$ .
Satu dadu: $|S| = 6$ ; dua dadu: $|S| = 36$ pasangan terurut.
Tiap pasangan dua dadu berpeluang sama $\tfrac{1}{36}$ , tetapi tiap jumlah berpeluang beda sesuai banyak penyusunnya.
Hukum bilangan besar: frekuensi relatif menstabil di peluang teoretis saat percobaan diperbanyak.
Komplemen $P(A^c) = 1 - P(A)$ ; gabungan kejadian saling lepas dijumlahkan peluangnya.