Determinan 2×2 & 3×3: Aturan Silang & Sarrus — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung determinan matriks $2 \times 2$ dan $3 \times 3$ dengan aturan silang dan Sarrus, serta membaca makna geometrinya.

Dua vektor membentuk sebuah jajargenjang; luasnya bisa nol saat kedua vektor sejajar, atau berubah tanda saat orientasinya terbalik. Ternyata angka ajaib yang mengukur semua itu adalah determinan — sebuah nilai tunggal yang dipasangkan ke setiap matriks persegi. Geser titik pada jajargenjang di bawah untuk melihat bagaimana luasnya berubah, dan coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sudut jajargenjang dan amati bagaimana luasnya (yang sama dengan determinan) berubah.

Determinan 2×2: aturan silang

Determinan adalah sebuah bilangan tunggal yang dipasangkan ke matriks persegi. Untuk matriks $2 \times 2$ , rumusnya berupa perkalian silang: kurangi hasil kali diagonal utama dengan hasil kali diagonal samping.

Determinan matriks $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\det(A) = ad - bc$ . Determinan hanya terdefinisi untuk matriks persegi.

Sebagai contoh, untuk $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , $\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$ . Tanda minus pada rumus penting: determinan bisa negatif bila diagonal samping lebih besar dari diagonal utama.

$\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$

Arti tiap simbol: $a, d$ = elemen diagonal utama; $b, c$ = elemen diagonal samping. Hasilnya adalah bilangan real yang merepresentasikan luas bertanda jajargenjang yang dibangun dua kolom matriks.

Makna geometri: luas bertanda

Dua kolom matriks $2 \times 2$ dapat dipandang sebagai dua vektor di bidang. Kedua vektor membentuk sebuah jajargenjang, dan luas jajargenjang itu sama dengan nilai mutlak determinan. Tanda determinan menunjukkan orientasi: positif bila perputaran dari kolom pertama ke kolom kedua berlawanan arah jarum jam, negatif bila sebaliknya.

Pikirkan determinan sebagai “faktor skala luas”. Matriks mengubah bidang; determinan mengukur berapa kali luas bertambah atau berkurang. Determinan 2 berarti setiap luas dilipatgandakan dua kali; determinan nol berarti seluruh bidang “diratakan” menjadi satu garis sehingga luasnya hilang.

Bila kedua kolom sejajar (saling merupakan kelipatan), jajargenjang berdegenerasi menjadi ruas garis dengan luas nol — itulah determinan nol.

Determinan 3×3: aturan Sarrus

Untuk matriks $3 \times 3$ , ada jalan pintas bernama aturan Sarrus. Salin dua kolom pertama ke sebelah kanan matriks, lalu jumlahkan hasil kali tiga diagonal ke kanan-bawah, dan kurangi hasil kali tiga diagonal ke kanan-atas.

Sebagai contoh, untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{bmatrix}$ , aturan Sarrus memberi $\det(A) = (1 \cdot 5 \cdot 0 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8) - (3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 0) = (0 + 84 + 96) - (105 + 48 + 0) = 180 - 153 = 27$ .

Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks $3 \times 3$ . Untuk ordo lebih tinggi, gunakan ekspansi kofaktor (di luar cakupan artikel ini).

Latihan determinan 3×3

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut membatasi determinan hingga ordo $3 \times 3$ (kisi: ≤3×3). Trik cepat: hafalkan pola Sarrus sebagai dua himpunan tiga diagonal, lalu hitung dengan tanda plus-minut-plus-minus. Bila determinan nol, segera simpulkan matriks tidak punya invers. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan determinan ≤3×3 sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Hitunglah determinan $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ dengan aturan silang.

Diagonal utama: $a = 2$ , $d = 4$ . Diagonal samping: $b = 3$ , $c = -1$ .

$\det(A) = ad - bc = 2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11$ . Perhatikan tanda: $b \cdot c = 3 \cdot (-1) = -3$ , dan dikurangi menjadi $+3$ .

Determinan 11 positif, berarti jajargenjang yang dibangun kolom $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ memiliki luas 11 satuan, dengan orientasi positif (berlawanan jarum jam).

Tantangan diri: hitung determinan 2×2 tanpa menulis rumus, cukup dengan perkalian silang mental.

Jebakan: menjumlahkan hasil kali diagonal alih-alih mengurangi. Yang benar: $\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ , dengan tanda minus di antara dua perkalian silang. Tanda ini sumber kesalahan paling sering.

Jebakan: menerapkan aturan Sarrus pada matriks $4 \times 4$ atau lebih besar. Yang benar: aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks $3 \times 3$ . Untuk ordo lebih tinggi, gunakan ekspansi kofaktor.

Jebakan: menganggap determinan negatif berarti salah. Yang benar: determinan boleh negatif — tanda menunjukkan orientasi (arah putaran kolom). Yang harus nol adalah kasus khusus matriks tak terinvert, bukan determinan negatif.

Determinan 2×2: $\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ (aturan silang).
Determinan 3×3: pakai aturan Sarrus (tiga diagonal positif dikurangi tiga diagonal negatif).
Makna geometri: $|\det|$ = luas jajargenjang dua kolom; tanda = orientasi.
Determinan nol: kolom segaris, matriks tak punya invers.
Determinan hanya untuk matriks persegi; Sarrus khusus 3×3.