Sifat-Sifat Logaritma: Kali, Bagi, Pangkat

Setelah ini kamu bisa menerapkan tiga sifat logaritma — perkalian, pembagian, dan pangkat — untuk menyederhanakan ekspresi logaritma.

Hitung $\log_2 8$ dan $\log_2 16$ terpisah, kamu dapat $3$ dan $4$ . Sekarang coba $\log_2(8 \cdot 16) = \log_2 128$ . Karena $128 = 2^7$ , jawabannya $7$ — yang persis sama dengan $3 + 4$ . Bukan kebetulan: logaritma mengubah perkalian di dalam menjadi penjumlahan di luar. Dari mana datangnya rumus seperti itu, dan apa untungnya? Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $a$ dan $b$ , lalu perhatikan bagaimana $\log_2(a \cdot b)$ selalu sama dengan $\log_2 a + \log_2 b$ .

Logaritma perkalian: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$

Misalkan $\log_a b = p$ (jadi $a^p = b$ ) dan $\log_a c = q$ (jadi $a^q = c$ ). Kalikan kedua persamaan eksponen: $b \cdot c = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ (pakai sifat eksponen $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ ). Maka $\log_a(bc) = p + q = \log_a b + \log_a c$ . Sifat perkalian log lahir langsung dari sifat perkalian eksponen.

$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$

Arti tiap simbol: $a$ basis ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ), $b$ dan $c$ numerus positif.

Logaritma “menurunkan” operasi satu tingkat: perkalian di dalam logaritma menjadi penjumlahan. Pembagian menjadi pengurangan. Pangkat menjadi perkalian. Inilah daya tarik logaritma zaman dahulu — mengubah kali-bagi susah jadi tambah-kurang mudah lewat tabel log.

Verifikasi sifat ini dengan slider berikut: jumlah kedua titik kecil selalu sama dengan titik besar.

Logaritma pembagian: $\log_a\!\left(\tfrac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$

Logikanya sejajar dengan perkalian. Misal $\log_a b = p$ dan $\log_a c = q$ . Bagi kedua eksponen: $\frac{b}{c} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$ (pakai sifat eksponen $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$ ). Maka $\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = p - q = \log_a b - \log_a c$ . Pembagian di dalam menjadi pengurangan di luar.

$\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$

Arti tiap simbol: $a$ basis ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ), $b$ dan $c$ numerus positif.

Geser slider di bawah: nilai $\log_2(m/4)$ selalu sama dengan $\log_2 m - 2$ .

Logaritma pangkat: $\log_a(b^n) = n \log_a b$

Sifat ketiga menyatukan perkalian berulang. Misal $\log_a b = p$ , jadi $b = a^p$ . Maka $b^n = (a^p)^n = a^{pn}$ (pangkat bertingkat mengalikan eksponen). Akibatnya $\log_a(b^n) = pn = n \log_a b$ . Pangkat di dalam menjadi pengali di luar.

$\log_a(b^n) = n \cdot \log_a b$

Arti tiap simbol: $a$ basis ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ), $b > 0$ numerus, $n$ pangkat (bilangan real).

Geser slider $n$ di bawah dan amati $\log_2(2^n) = n \cdot \log_2 2 = n \cdot 1 = n$ — pangkat berpindah keluar menjadi pengali.

Aplikasi: skala Richter dan pH

Skala magnitudo gempa Richter memakai logaritma basis 10: naik satu tingkat berarti energi sekitar $32$ kali lipat. Skala pH larutan juga logaritmik: $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$ , jadi air bersih (pH 7) punya konsentrasi ion $\text{H}^+$ sebesar $10^{-7}$ . Inilah mengapa skala logaritma berguna — rentang nilai sangat lebar (dari getaran kecil hingga gempar, atau dari asam kuat hingga basa) bisa dirangkum dalam angka kecil yang mudah dibaca.

Sifat logaritma adalah alat utama di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif untuk menyederhanakan ekspresi numerik dan menyelesaikan persamaan logaritma. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkannya pada jalur Matematika Tingkat Lanjut elemen Aljabar. Hafalkan tiga wajah: kali → tambah, bagi → kurang, pangkat → kali.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sederhanakan bentuk $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$ menjadi satu logaritma, lalu nyatakan nilainya.

$\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2(8 \cdot 4) = \log_2 32$ .

$\log_2 32 - \log_2 2 = \log_2(32/2) = \log_2 16$ .

$16 = 2^4$ , jadi $\log_2 16 = 4$ . Hasil akhirnya $4$ .

Latihan berikut mengacak soal penyederhanaan. Kerjakan dahulu di kertas, ketik jawaban akhir, lalu tekan Soal baru untuk ganti.

Jebakan: mengalikan dua logaritma, misalnya menulis $\log_a b \cdot \log_a c = \log_a(bc)$ . Yang benar: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ — operasinya penjumlahan, bukan perkalian.

Jebakan: lupa bahwa pangkat harus keluar dari logaritma, misalnya $\log_a(b^n) = (\log_a b)^n$ . Yang benar: $\log_a(b^n) = n \log_a b$ — pangkat menjadi pengali di depan, bukan pangkat dari logaritma.

Perkalian di dalam log menjadi penjumlahan: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ .
Pembagian di dalam log menjadi pengurangan: $\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$ .
Pangkat di dalam log menjadi pengali: $\log_a(b^n) = n \log_a b$ .
Logaritma menurunkan tingkat operasi: kali→tambah, bagi→kurang, pangkat→kali.
Aplikasi nyata: skala Richter, pH, desibel — merangkum rentang lebar dalam angka kecil.

Logaritma perkalian: log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(bc) = \log_a b + \log_a cloga​(bc)=loga​b+loga​c

Logaritma pembagian: log⁡a ⁣(bc)=log⁡ab−log⁡ac\log_a\!\left(\tfrac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a cloga​(cb​)=loga​b−loga​c

Logaritma pangkat: log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n \log_a bloga​(bn)=nloga​b

Aplikasi: skala Richter dan pH

Logaritma perkalian: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$

Logaritma pembagian: $\log_a\!\left(\tfrac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$

Logaritma pangkat: $\log_a(b^n) = n \log_a b$