Persamaan Logaritma Sederhana — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan persamaan logaritma sederhana dengan mengubahnya ke bentuk eksponen dan mengecek syarat numerus positif.

Seorang teman menulis $\log_2 x = 3$ dan langsung menyimpulkan $x = 8$ . Benar, karena $2^3 = 8$ . Tetapi coba $\log_2(x-6) = 3$ . Apakah $x = 14$ ? Substitusi balik: $\log_2(14-6) = \log_2 8 = 3$ , sah. Sekarang bagaimana kalau solusimu menghasilkan numerus negatif, misal $\log_2(2-x) = 3$ dengan $x = -6$ ? Numerusnya $2-(-6) = 8$ , tetap sah. Tapi ganti angka sedikit dan kamu bisa terjebak meloloskan jawaban yang membuat log tak terdefinisi. Coba lihat sendiri di bawah kenapa syarat numerus bukan formalitas.

Geser slider $x$ , lalu perhatikan kurva $\log_2$ hanya hidup untuk $x$ di kanan nol.

Kunci: ubah log jadi eksponen

Persamaan logaritma paling sederhana berbentuk $\log_a x = k$ . Definisi logaritma menyatakannya setara dengan $a^k = x$ . Jadi langkah utamanya selalu satu: ubah bentuk log menjadi bentuk eksponen, lalu selesaikan pangkatnya.

$\log_a x = k \iff a^k = x, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0$

Arti tiap simbol: $a$ basis (positif, bukan 1), $x$ numerus (harus positif), $k$ nilai log.

Pada plot di bawah, slider $y$ menggerakkan titik di kurva $x = 2^y$ . Saat kamu memutar $y$ ke 3, titik mendarat di $x = 8$ — persis jawaban $\log_2 8 = 3$ . Inilah jembatan dua arah antara log dan eksponen.

Syarat numerus: jangan dilanggar

Bentuk $\log_a(\text{numerus})$ hanya sah kalau numerusnya positif. Pada $\log_2(x-6) = 3$ , numerusnya bukan $x$ , melainkan $x - 6$ . Sebelum menghitung apa pun, kamu wajib memastikan $x - 6 > 0$ , yaitu $x > 6$ . Tanpa syarat ini, kamu bisa saja memperoleh $x$ yang membuat log membaca bilangan negatif — mustahil.

Syarat numerus pada persamaan $\log_a f(x) = k$ adalah $f(x) > 0$ ; solusi yang melanggar syarat ini ditolak meski memenuhi bentuk eksponen.

Garis bilangan di bawah menandai daerah $x$ yang membuat $x - 6$ positif. Geser penanda dan amati: hanya di sebelah kanan 6 numerusnya sah.

Gabungkan log dulu bila perlu

Bila ruasnya berisi beberapa log sekaligus, pakai sifat logaritma untuk menyatukannya sebelum berubah ke eksponen. Contoh: $\log_2(x-1) + \log_2 3 = \log_2 12$ . Dengan sifat perkalian, ruas kiri menjadi $\log_2(3(x-1))$ , sehingga $3(x-1) = 12$ , lalu $x = 5$ . Tetap cek syarat: $x - 1 = 4 > 0$ , sah.

Anggap persamaan log seperti membuka kunci ganda. Kunci pertama: satukan log lewat sifat (kali jadi tambah, pangkat jadi kali). Kunci kedua: ubah ke eksponen. Pintu terakhir: cek syarat numerus — jangan masuk ruangan yang sebenarnya dikunci.

Persamaan logaritma rutin muncul di UTBK Pengetahuan Kuantitatif (kerangka 045/H/AN/2025 jalur Penalaran Kuantitatif). Jebakan paling sering: lupa cek syarat numerus sehingga dua opsi jawaban muncul padahal satu melanggar syarat. Hafalkan urutan: satukan → ubah ke eksponen → cek numerus positif.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan $\log_3(2x - 4) = 2$ , lalu periksa apakah solusinya sah.

$\log_3(2x-4) = 2 \iff 3^2 = 2x - 4$ , jadi $9 = 2x - 4$ .

$9 + 4 = 2x$ , maka $2x = 13$ , sehingga $x = 6{,}5$ .

Numerus $2x - 4 = 2(6{,}5) - 4 = 9 > 0$ . Sah. Maka solusinya $x = 6{,}5$ .

Latihan berikut mengacak persamaan $\log_3(2x-4) = k$ . Hitung dahulu di kertas, ketik nilai $x$ , lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: menyelesaikan persamaan log tanpa mengecek syarat numerus, lalu meloloskan jawaban yang membuat numerus negatif atau nol. Yang benar: setelah memperoleh kandidat $x$ , substitusi balik untuk memastikan numerusnya positif. Bila melanggar, solusi ditolak.

Jebakan: menganggap numerus persamaan $\log_a f(x) = k$ adalah $x$ itu sendiri, sehingga menulis syarat $x > 0$ . Yang benar: numerusnya adalah $f(x)$ ; syaratnya $f(x) > 0$ , yang bisa jadi lebih ketat daripada sekadar $x > 0$ .

Ubah $\log_a x = k$ ke bentuk eksponen $a^k = x$ , lalu selesaikan.
Syarat numerus wajib: numerus $f(x)$ harus positif pada setiap log.
Bila ada beberapa log, satukan dulu dengan sifat log sebelum berubah ke eksponen.
Substitusi balik kandidat solusi untuk memastikan syarat numerus terpenuhi.
Solusi yang melanggar syarat numerus ditolak meski memenuhi bentuk eksponen.