Sudut Tali Busur & Garis Singgung — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menerapkan teorema sudut antara tali busur dan garis singgung untuk mencari sudut-sudut pada lingkaran, dan menjelaskan keterkaitannya dengan sudut keliling.

Saat sebuah tali diikatkan ke paku di tepi roda, lalu ditarik tegang menyentuh roda tepat di paku itu, sudut antara tali dan jeruji roda ternyata punya hubungan rahasia dengan sudut-sudut lain di roda. Sudut antara tali busur dan garis singgung di titik singgung selalu sama dengan sudut keliling yang “menghadap” busur yang sama. Inilah jembatan yang sering membuat soal sudut lingkaran yang rumit runtuh menjadi satu angka. Coba seret titik pada bangun di bawah dan saksikan dua sudut itu mengunci ke nilai yang sama.

Coba seret titik pada bangun di bawah dan perhatikan sudut tali busur-garis singgung selalu sama dengan sudut keliling busur itu.

Teorema inti: sudut tali busur-garis singgung

Di titik singgung $P$ pada sebuah lingkaran, tarik sebuah garis singgung dan sebuah tali busur $PA$ . Sudut yang terbentuk antara tali busur $PA$ dan garis singgung di titik $P$ ternyata bukan sembarang sudut — nilainya sama persis dengan sudut keliling yang menghadap busur $PA$ di sisi berlawanan. Inilah teorema sudut tali busur-garis singgung.

Sudut tali busur-garis singgung adalah sudut yang dibentuk sebuah tali busur dan garis singgung di titik singgung. Teorema: sudut ini sama dengan sudut keliling yang menghadap busur (yang dibentuk tali busur) di sisi berlawanan lingkaran.

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga yang dibentuk oleh titik singgung $P$ , titik ujung tali busur $A$ , dan sebuah titik $B$ di busur berlawanan. Seret titik $B$ sepanjang busur — sudut keliling di $B$ tetap konstan (sudut-sudut keliling pada busur yang sama selalu sama), dan nilainya sama dengan sudut tali-garis di $P$ .

Hubungan dengan sudut pusat: setengahnya

Sudut keliling yang menghadap sebuah busur selalu setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Karena sudut tali busur-garis singgung sama dengan sudut keliling itu, ia juga setengah dari sudut pusat yang menghadap busur $PA$ . Inilah jembatan tiga sudut: sudut tali-garis = sudut keliling = $\tfrac{1}{2}$ sudut pusat.

$\angle\,\text{tali-garis} = \angle\,\text{keliling} = \tfrac{1}{2}\,\angle\,\text{pusat}$

Arti tiap simbol: $\angle\,\text{tali-garis}$ = sudut antara tali busur dan garis singgung di titik singgung; $\angle\,\text{keliling}$ = sudut keliling yang menghadap busur $PA$ ; $\angle\,\text{pusat}$ = sudut pusat yang menghadap busur $PA$ . Ketiganya menghadap busur yang sama.

Bangun di bawah menggambarkan hubungan ini sebagai segitiga yang sisi miringnya menggambarkan hubungan geometris. Seret titik pusat — ketika sudut pusat berubah, sudut tali-garis dan sudut keliling ikut berubah, selalu sebagai setengahnya.

Bayangkan sudut pusat sebagai “mata dewa” di pusat lingkaran yang melihat seluruh busur $PA$ . Sudut keliling dan sudut tali-garis adalah “mata pengamat” di pinggir lingkaran yang melihat busur $PA$ dari sudut pandang berbeda — tapi terbatas. Karena mereka berdiri lebih jauh dari pusat, mereka hanya melihat setengah dari apa yang dilihat dewa pusat.

Memecahkan soal sudut berantai

Banyak soal lingkaran memberi satu sudut dan menanyakan banyak sudut lain. Triknya: kenali busur mana yang dikaitkan, lalu rantai teorema — sudut pusat $\to$ setengahnya jadi sudut keliling $\to$ sama dengan sudut tali-garis yang menghadap busur itu. Satu sudut bisa membongkar lima sudut lain lewat jaringan ini.

Bangun di bawah memperlihatkan konstruksi tipikal soal: garis singgung, tali busur, dan diameter bertemu di satu titik. Seret titik untuk membaca sudut-sudut yang terkait lewat teorema.

Di TKA dan UTBK, soal sudut tali busur-garis singgung klasik berbentuk “soal sudut berantai”: diberi satu sudut di lingkaran, ditanya sudut lain. Pola umum: gunakan teorema sudut keliling (sudut-sudut keliling pada busur yang sama sama besar), teorema sudut pusat (setengah/kali dua), dan teorema sudut tali-garis (sama dengan sudut keliling). Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri lingkaran sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Pada sebuah lingkaran, sebuah tali busur $PA$ membentuk sudut $35^\circ$ dengan garis singgung di titik singgung $P$ . Sebuah titik $B$ terletak pada busur besar $PA$ (sisi berlawanan). Berapa besar sudut keliling $PBA$ ?

Sudut antara tali busur $PA$ dan garis singgung di $P$ sama dengan sudut keliling yang menghadap busur $PA$ di sisi berlawanan — yaitu $\angle PBA$ .

$\angle\,\text{tali-garis di } P = \angle PBA$ . Karena sudut tali-garis = $35^\circ$ , maka $\angle PBA = 35^\circ$ .

Sudut pusat yang menghadap busur $PA$ (sisi kecil) = $2 \times 35^\circ = 70^\circ$ . Maka sudut keliling $\angle PBA$ yang menghadap busur besar = setengah dari $(360^\circ - 70^\circ) = 290^\circ$ , yaitu $145^\circ$ ? — Hati-hati: sudut keliling yang menghadap busur kecil = $35^\circ$ . Sesuai teorema, jawaban $\angle PBA = 35^\circ$ bila $B$ di busur yang ditunjuk teorema (sisi berlawanan titik singgung).

Latih kecepatan menerapkan teorema dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menganggap sudut tali busur-garis singgung sama dengan sudut pusat busur itu. Yang benar: ia setengah dari sudut pusat, sama dengan sudut keliling — karena sudut keliling sendiri selalu setengah sudut pusat busur yang sama.

Jebakan: mencampur busur yang dihadap. Yang benar: sudut tali-garis sama dengan sudut keliling yang menghadap busur yang sama (yang dibentuk tali busur), di sisi berlawanan titik singgung. Bukan busur berlawanan atau sisi yang sama dengan titik singgung.

Jebakan: lupa bahwa tali busur dan garis singgung bertemu di titik singgung pada lingkaran, bukan di titik luar. Yang benar: titik temu keduanya adalah titik singgung itu sendiri — yang juga merupakan salah satu ujung tali busur.

Sudut antara tali busur dan garis singgung = sudut keliling yang menghadap busur itu.
Sudut tali-garis = $\tfrac{1}{2}$ sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
Tali busur & garis singgung bertemu di titik singgung pada lingkaran.
Untuk soal sudut berantai: rantai teorema — pusat $\to$ keliling/tali-garis — selesai.
Teliti busur yang dihadap: sisi berlawanan titik singgung.