Segi Empat Tali Busur — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjelaskan sifat sudut berhadapan segi empat tali busur yang berjumlah 180 derajat dan memakainya untuk mencari sudut yang belum diketahui.

Empat teman berdiri di tepi lapangan bundar, masing-masing memegang tali yang membentuk segi empat. Ternyata, dua orang yang saling berhadapan selalu “melengkap”: sudut mereka berdua selalu persis 180 derajat, berapa pun posisinya di tepi lapangan. Geser satu orang, sudut pasangan berhadapan ikut menyesuaikan tapi jumlahnya terkunci. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret titik sudut pada segi empat di bawah dan perhatikan jumlah dua sudut berhadapan.

Apa itu segi empat tali busur

Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran yang sama. Namanya berasal dari fakta bahwa keempat sisinya adalah tali busur — ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Segi empat tali busur adalah segi empat yang seluruh titik sudutnya berada pada satu lingkaran (siklik). Akibatnya, setiap pasangan sudut berhadapan berjumlah $180^\circ$ .

Bangun di bawah memperlihatkan empat titik $A$ , $B$ , $C$ , $D$ yang bebas diseret di keliling. Selama keempatnya tetap menempel pada lingkaran, bangun yang terbentuk selalu segi empat tali busur. Seret salah satu titik menyusuri busur — bentuk segi empat berubah, tetapi sifat sudutnya tidak.

Sifat inti: sudut berhadapan berjumlah 180 derajat

Inilah teorema kunci. Pada segi empat tali busur, setiap dua sudut berhadapan selalu berjumlah $180^\circ$ . Jadi $\angle A + \angle C = 180^\circ$ dan $\angle B + \angle D = 180^\circ$ . Bila satu sudut membesar, sudut berhadapannya pasti mengecil dengan jumlah yang sama — keduanya saling “melengkapi”.

$\angle A + \angle C = 180^\circ \quad\text{dan}\quad \angle B + \angle D = 180^\circ$

Arti tiap simbol: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ adalah sudut-sudut dalam segi empat tali busur; $\angle A$ berhadapan dengan $\angle C$ , dan $\angle B$ berhadapan dengan $\angle D$ .

Mengapa jumlahnya selalu 180 derajat

Alasannya bersambung dengan sudut keliling. Setiap sudut segi empat tali busur adalah sudut keliling yang menghadap sebuah busur. Pasangan sudut berhadapan, misalnya $\angle A$ dan $\angle C$ , menghadap dua busur yang bersama-sama membentuk satu lingkaran penuh ( $360^\circ$ ). Karena sudut keliling selalu setengah dari busur yang dihadapinya, maka $\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$ .

Bangun di bawah memperlihatkan kedua busur yang dihadapi pasangan sudut berhadapan. Seret titik — kedua busur saling melengkapi menjadi lingkaran penuh, dan sudut-sudutnya selalu berpasangan menyumbang setengah dari total.

Bayangkan dua sudut berhadapan seperti dua orang yang membelah satu kue bundar sempurna. Kuenya selalu 360 derajat, dan masing-masing mengambil setengah — jadi total mereka selalu 180 derajat, berapa pun bentuk potongannya.

Sifat patah bila keluar dari lingkaran

Sifat $180^\circ$ hanya berlaku bila keempat titik tetap pada satu lingkaran. Bangun di bawah membiarkanmu menyeret satu titik keluar dari keliling — saat titik itu lepas, jumlah sudut berhadapan tidak lagi $180^\circ$ , dan sifatnya patah. Inilah bukti bahwa “satu lingkaran” bukan syarat kosmetik, melainkan inti teorema.

Soal TKA klasik tentang segi empat tali busur: diberi tiga sudut, ditanya sudut keempat, atau diberi sudut berbentuk aljabar seperti $\angle A = (2x + 10)^\circ$ dan $\angle C = (3x)^\circ$ lalu disuruh cari $x$ . Triknya selalu sama: pakai $\angle A + \angle C = 180^\circ$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri lingkaran sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Pada segi empat tali busur $ABCD$ , diketahui $\angle A = 72^\circ$ dan $\angle B = 95^\circ$ . Tentukan besar $\angle C$ dan $\angle D$ .

$\angle A$ berhadapan dengan $\angle C$ , dan $\angle B$ berhadapan dengan $\angle D$ . Pasangan inilah yang berjumlah $180^\circ$ , bukan sudut yang berdekatan.

Karena $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , maka $\angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .

Dengan cara sama, $\angle D = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$ . Cek: jumlah seluruh sudut segi empat = $72 + 95 + 108 + 85 = 360^\circ$ , sesuai.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — sudutnya berubah setiap kali, tapi pola pasangan berhadapan tetap sama.

Jebakan: menjumlahkan dua sudut yang bersebelahan (misal $\angle A + \angle B$ ) lalu menyamakannya dengan $180^\circ$ . Yang benar: yang berjumlah $180^\circ$ adalah pasangan berhadapan ( $\angle A + \angle C$ , $\angle B + \angle D$ ). Pasangan bersebelahan tidak punya aturan jumlah tetap selain total seluruh sudut $360^\circ$ .

Jebakan: menerapkan sifat $180^\circ$ pada segi empat sembarang tanpa memastikan keempat titiknya satu lingkaran. Yang benar: sifat itu khusus segi empat tali busur. Untuk segi empat biasa, hanya berlaku total sudut $360^\circ$ .

Segi empat tali busur: keempat titik sudut terletak pada satu lingkaran.
Setiap dua sudut berhadapan berjumlah $180^\circ$ ( $\angle A + \angle C$ , $\angle B + \angle D$ ).
Alasannya: sudut keliling berpasangan menghadap busur yang melingkari penuh ( $360^\circ$ ).
Sudut bersebelahan tidak punya aturan jumlah tetap.
Sifat patah bila satu titik keluar dari lingkaran.