Pertidaksamaan Kuadrat

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat $ax^2 + bx + c > 0$ (atau $< 0$ , $\leq 0$ , $\geq 0$ ) lewat akar, garis bilangan tanda, dan grafik parabola.

Mantan pemilik kebun ingin tahu kapan hasil panennya menguntungkan — yaitu saat untungnya positif, bukan nol. Soal seperti itu bukan persamaan melainkan pertidaksamaan: kita tidak mencari titik, melainkan rentang nilai. Untuk pertidaksamaan kuadrat, parabola menjadi peta: daerah di atas sumbu-x adalah tempat fungsi bernilai positif. Geser slider di bawah dan temukan sendiri intervalnya.

Perhatikan parabola dan daerah yang diarsir hijau — itu tempat $y > 0$ .

Membaca tanda dari grafik

Pertidaksamaan kuadrat $ax^2 + bx + c > 0$ menanyakan: untuk $x$ berapa saja nilai fungsi itu positif? Kuncinya ada di grafik. Parabola membagi bidang menjadi dua: daerah di atas sumbu-x tempat fungsi bernilai positif, dan daerah di bawah sumbu-x tempat fungsi bernilai negatif.

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan berbentuk $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ dengan $a \neq 0$ . Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan, biasanya berupa interval.

Karena parabola dengan $a > 0$ terbuka ke atas, ia berada di atas sumbu-x ketika $x$ berada di luar kedua akarnya, dan di bawah saat $x$ berada di antara keduanya. Inilah inti membaca pertidaksamaan dari grafik.

Tentukan akar dulu

Sebelum bisa membaca tanda, kamu harus tahu di mana parabola memotong sumbu-x — yaitu akar-akarnya. Selesaikan persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ dengan pemfaktoran atau rumus abc. Untuk $x^2 - 5x + 6 = 0$ , pemfaktoran memberi $(x - 2)(x - 3) = 0$ , jadi akarnya $x = 2$ dan $x = 3$ . Dua nilai ini membagi garis bilangan menjadi tiga ruas.

Garis bilangan tanda +/−/+

Setelah akar ditemukan, tarik garis bilangan dan beri tanda pada tiap ruas. Untuk parabola $a > 0$ , polanya selalu $+$ , $-$ , $+$ dari kiri ke kanan: positif di kiri akar pertama, negatif di antara dua akar, positif di kanan akar kedua. Untuk $a < 0$ , polanya terbalik: $-$ , $+$ , $-$ .

Cara cepat menentukan tanda tiap ruas tanpa menggambar: ambil satu nilai uji di tiap ruas. Untuk $x^2 - 5x + 6$ : coba $x = 0$ (ruas kiri) → $0 - 0 + 6 = 6$ positif; $x = 2{,}5$ (ruas tengah) → $6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25$ negatif; $x = 4$ (ruas kanan) → $16 - 20 + 6 = 2$ positif. Hasilnya $+$ , $-$ , $+$ , persis seperti prediksi pola parabola.

$\text{Untuk } a > 0: \;\; \underbrace{+}_{x < x_1} \;\; \underbrace{-}_{x_1 < x < x_2} \;\; \underbrace{+}_{x > x_2}$

Arti tiap simbol: $x_1 < x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Kasus $D < 0$ : selalu satu tanda

Bagaimana kalau persamaan tidak punya akar riil? Itu terjadi saat diskriminan $D < 0$ . Parabola tidak pernah memotong sumbu-x, sehingga tidak ada perubahan tanda — fungsi selalu positif (bila parabola di atas) atau selalu negatif (bila di bawah). Tanda yang muncul sepenuhnya ditentukan oleh tanda $a$ .

Pikirkan parabola sebagai bukit atau lembah. Untuk $a > 0$ parabola seperti lembah: ia turun ke titik terendah lalu naik — daerah di atas sumbu-x adalah dua “lereng” di kiri dan kanan. Kalau lembahnya seluruhnya di atas sumbu-x (kasus $D < 0$ ), maka keseluruhannya positif tanpa kecuali.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^2 - 5x + 6 < 0$ .

Selesaikan persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Pemfaktoran: $(x - 2)(x - 3) = 0$ , jadi akarnya $x = 2$ dan $x = 3$ .

Karena $a = 1 > 0$ , pola tanda $+$ , $-$ , $+$ dari kiri ke kanan. Daerah negatif berada di antara dua akar.

Pertidaksamaan meminta $y < 0$ , yaitu daerah bertanda negatif. Jadi himpunan penyelesaiannya $\{x \mid 2 < x < 3\}$ , atau dalam notasi interval $(2, 3)$ .

Berlatihlah dengan angka berbeda. Soal di bawah memberi dua akar $x_1$ dan $x_2$ (dengan $x_1 < x_2$ ), lalu menanyakan nilai uji tanda pada ruas tengah — apakah fungsi $y = (x - x_1)(x - x_2)$ positif atau negatif di antara kedua akar.

Jebakan: lupa membalik pola tanda saat $a < 0$ . Yang benar: untuk $a > 0$ polanya $+$ , $-$ , $+$ ; untuk $a < 0$ polanya $-$ , $+$ , $-$ . Selalu cek tanda $a$ sebelum menentukan pola, atau gunakan nilai uji pada tiap ruas.

Jebakan: menyertakan akar pada himpunan penyelesaian padahal tanda ketidaksamaan ketat ( $>$ atau $<$ ). Yang benar: tanda ketat berarti akar tidak termasuk solusi (interval buka); tanda $\geq$ atau $\leq$ berarti akar termasuk (interval tutup).

Pertidaksamaan kuadrat $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ diselesaikan dengan mencari interval.
Tentukan akar dulu (pemfaktoran atau rumus abc) untuk membagi garis bilangan.
Untuk $a > 0$ pola tanda $+$ , $-$ , $+$ ; untuk $a < 0$ pola $-$ , $+$ , $-$ .
Baca grafik: $y > 0$ di atas sumbu-x, $y < 0$ di bawah.
Kasus $D < 0$ : tidak ada akar, fungsi selalu satu tanda sesuai $a$ .

Membaca tanda dari grafik

Tentukan akar dulu

Garis bilangan tanda +/−/+

Kasus D<0D < 0D<0: selalu satu tanda

Kasus $D < 0$ : selalu satu tanda