Aplikasi Optimasi: Laba, Lintasan, Pagar — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa memakai titik puncak parabola untuk menyelesaikan masalah nilai maksimum dan minimum sederhana seperti luas kandang, tinggi lintasan bola, dan laba produksi.

Seorang peternak punya 40 meter kawat untuk membuat kandang ayam menempel tembok. Berapa lebar yang membuat luasnya paling besar? Ternyata jawabannya bukan “seluas mungkin dengan lebar terbesar” — ada satu lebar optimal di mana luasnya mencapai puncak. Itulah masalah optimasi: mencari nilai terbaik, bukan sekadar “makin besar makin baik”. Coba lihat sendiri puncak itu muncul di bawah.

Geser slider lebar kandang, lalu perhatikan titik luas bergerak menyusuri parabola dan mencapai puncak di satu lebar tertentu.

Mengapa puncak adalah jawaban

Banyak besaran di dunia nyata berbentuk parabola: luas, tinggi, laba, biaya. Dan parabola punya satu titik istimewa — puncaknya. Kalau parabola terbuka ke bawah ( $a < 0$ ), puncaknya adalah nilai maksimum. Kalau terbuka ke atas ( $a > 0$ ), puncaknya adalah nilai minimum. Inilah inti optimasi: masalah diubah jadi fungsi kuadrat, lalu puncaknya memberi nilai terbaik.

Optimasi fungsi kuadrat adalah mencari nilai maksimum atau minimum suatu besaran yang dimodelkan sebagai $y = ax^{2} + bx + c$ . Nilai ekstremnya dicapai di absis puncak $x_p = -\dfrac{b}{2a}$ , dengan ordinat $y_p = c - \dfrac{b^{2}}{4a}$ .

Tanda $a$ menentukan jenis optimum. Geser tanda $a$ di bawah — saat $a$ negatif parabola terjungkal dan puncaknya menjadi maksimum; saat $a$ positif parabola menadah dan puncaknya menjadi minimum.

$x_{\text{optimum}} = -\frac{b}{2a}, \qquad y_{\text{optimum}} = c - \frac{b^{2}}{4a}$

Arti tiap simbol: $a, b, c$ = koefisien fungsi $y = ax^{2} + bx + c$ dengan $a \neq 0$ . $y_{\text{optimum}}$ adalah nilai maksimum (bila $a < 0$ ) atau minimum (bila $a > 0$ ).

Langkah baku memecahkan soal optimasi

Hampir semua soal optimasi kuadrat bisa dipecahkan dengan empat langkah. Pertama, nyatakan besaran yang dicari (luas, laba, tinggi) sebagai fungsi satu variabel. Kedua, pastikan fungsinya berbentuk kuadrat $ax^{2} + bx + c$ . Ketiga, hitung $x_p = -\dfrac{b}{2a}$ untuk posisi optimum. Keempat, substitusi balik untuk nilai optimumnya. Cek tanda $a$ di awal agar kamu tahu apakah mencari maksimum atau minimum.

Masalah pagar: luas maksimum

Kembali ke kandang ayam tadi. Kawat total 40 m, kandang menempel tembok sehingga hanya tiga sisi yang berpagar: dua sisi lebar $w$ dan satu sisi panjang. Panjangnya $= 40 - 2w$ (kawat yang tersisa setelah dua lebar). Maka luas $L = w \cdot (40 - 2w) = -2w^{2} + 40w$ . Karena $a = -2 < 0$ , parabola terbuka ke bawah dan puncaknya adalah luas maksimum. Posisi optimum: $w_p = -\dfrac{40}{2(-2)} = 10$ m, dengan luas $L = -2(10)^{2} + 40(10) = 100$ m².

Masalah lintasan bola

Saat bola dilempar ke atas, ketinggiannya terhadap waktu berbentuk parabola yang terbuka ke bawah — gravitasi membuat bola naik lalu turun. Puncak parabola itulah tinggi maksimum. Misal tinggi bola $h(t) = -5t^{2} + 20t$ (dalam meter, $t$ dalam sekon). Maka $t_p = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$ sekon, dan $h_{\text{maks}} = -5(2)^{2} + 20(2) = 20$ meter. Geser waktu di bawah untuk melihat bola menaiki parabola sampai puncak lalu turun.

Pikirkan puncak parabola sebagai “puncak gunung” (saat $a < 0$ ). Bola yang dilempar ke atas berhenti sejenak di puncak sebelum jatuh kembali — itulah saat gravitasi benar-benar mengalahkan kecepatan awal. Tinggi pada saat berhenti sejenak itulah tinggi maksimum.

Masalah laba produksi

Di dunia bisnis, laba sering berbentuk parabola: terlalu sedikit produksi → laba kecil; terlalu banyak → biaya menumpuk dan laba turun. Ada satu jumlah produksi optimal di puncak parabola. Misal laba $P(x) = -x^{2} + 12x - 11$ (dalam ribu rupiah, $x$ = ribu unit). Maka $x_p = -\dfrac{12}{2(-1)} = 6$ ribu unit, dengan laba $P = -36 + 72 - 11 = 25$ ribu rupiah. Geser jumlah produksi di bawah untuk melihat laba mencapai puncak.

Soal UTBK Penalaran Matematika dan TKA sangat sering membungkus optimasi kuadrat dalam konteks nyata — kandang, lemparan bola, laba, kebun — dan meminta nilai maksimum/minimum. Trik cepat: susun fungsi kuadrat dulu, lalu pakai $x_p = -\dfrac{b}{2a}$ dan substitusi balik. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aplikasi fungsi kuadrat sebagai cakupan resmi pada Fase E. Jebakan paling sering: lupa menentukan apakah yang dicari maksimum atau minimum dari tanda $a$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah pabrik kue memiliki laba $L(x) = -2x^{2} + 24x - 40$ (ribuan rupiah), dengan $x$ = ribuan bungkus kue. Berapa bungkus kue yang harus diproduksi agar laba maksimum, dan berapa laba maksimumnya?

$a = -2 < 0$ , jadi parabola terbuka ke bawah dan puncaknya adalah maksimum. Ini soal mencari laba terbesar.

$x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{24}{2(-2)} = -\dfrac{24}{-4} = 6$ . Jadi produksi optimum = $6$ ribu bungkus.

$L(6) = -2(6)^{2} + 24(6) - 40 = -72 + 144 - 40 = 32$ . Jadi pabrik harus memproduksi $6.000$ bungkus untuk laba maksimum $32$ ribu rupiah.

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $b$ berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”, pada fungsi $y = -x^{2} + bx$ . Tugasmu menghitung absis puncak $x_p = -\dfrac{b}{2a}$ (di sini $a = -1$ ) — posisi nilai optimum.

Jebakan: menyimpulkan “puncak = maksimum” begitu saja tanpa cek tanda $a$ . Yang benar: puncak adalah maksimum bila $a < 0$ dan minimum bila $a > 0$ . Tanda $a$ satu-satunya penentu jenis optimum — cek dulu sebelum menjawab.

Jebakan: menghentikan jawaban di absis optimum $x_p$ saja, tanpa substitusi balik. Yang benar: soal biasanya meminta nilai optimum (luas, laba, tinggi), bukan posisinya. Setelah dapat $x_p$ , substitusi balik ke fungsi untuk memperoleh $y_{\text{optimum}}$ .

Jebakan: mengira “makin besar variabel makin baik”. Yang benar: pada parabola, melewati puncak berarti nilai menurun kembali. Produksi terlalu banyak bisa menurunkan laba; lebar kandang terlalu besar justru menyusutkan luas. Optimum adalah satu titik, bukan “yang terbesar”.

Optimasi fungsi kuadrat: cari nilai maksimum/minimum lewat titik puncak parabola.
Posisi optimum $x_p = -\dfrac{b}{2a}$ ; nilai optimum = substitusi balik ke fungsi.
$a < 0$ → puncak maksimum; $a > 0$ → puncak minimum.
Empat langkah: modelkan → pastikan kuadrat → hitung $x_p$ → substitusi balik.
Berlaku untuk luas, tinggi lintasan, laba, biaya — bukan hanya masalah pagar.