Menyusun Fungsi Kuadrat dari Grafik/Titik — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menyusun rumus fungsi kuadrat dari akar-akar, titik puncak, atau tiga titik yang dilewati parabolanya.

Selama ini kamu menggambar parabola dari sebuah rumus yang sudah jadi. Kali ini arahnya dibalik: kamu diberi potongan-potongan informasi — letak akar, koordinat puncak, atau beberapa titik — lalu kamu merangkai rumusnya sendiri. Tiga jalan berbeda menuju satu persamaan. Coba lihat sendiri bagaimana tiap jalan bekerja di bawah.

Geser slider dua akar, lalu perhatikan parabola terbentuk mengikuti bentuk faktornya.

Tiga bentuk, satu parabola

Sebelum menyusun rumus, kenali dulu bahwa fungsi kuadrat punya tiga bentuk yang setara — sama-sama menggambarkan parabola yang identik. Bentuk umum $y = ax^{2} + bx + c$ cocok untuk membaca koefisien. Bentuk faktor $y = a(x - r_1)(x - r_2)$ langsung memperlihatkan akar-akarnya. Bentuk puncak $y = a(x - p)^{2} + q$ langsung memperlihatkan titik puncaknya. Memilih bentuk yang tepat = separuh pekerjaan menyusun rumus.

Menyusun fungsi kuadrat berarti menentukan rumus $y = ax^{2} + bx + c$ (atau bentuk setaranya) dari informasi parsial: akar-akar, titik puncak, atau titik-titik yang dilewati. Bentuk yang dipilih mengikuti informasi yang tersedia.

Jalan pertama: dari akar

Kalau kamu tahu kedua akar parabola, $r_1$ dan $r_2$ , langsung tulis bentuk faktor: $y = a(x - r_1)(x - r_2)$ . Tinggal satu hal lagi: nilai $a$ . Untuk menentukan $a$ , kamu perlu satu titik tambahan yang dilewati parabola (selain kedua akar). Tanpa titik tambahan, $a$ bebas — banyak parabola berbeda bisa berakar sama.

$y = a(x - r_1)(x - r_2)$

Arti tiap simbol: $a$ = koefisien pembuka (menentukan “kurus/lebar” dan arah parabola); $r_1, r_2$ = akar-akar parabola. Bila $a = 1$ , rumus ini otomatis memenuhi rumus Vieta $x_1 + x_2 = r_1 + r_2$ dan $x_1 \cdot x_2 = r_1 \cdot r_2$ .

Sebagai contoh, susun parabola berakar $2$ dan $5$ yang lewat titik $(0, 10)$ . Tulis $y = a(x - 2)(x - 5)$ . Substitusi titik $(0, 10)$ : $10 = a(0 - 2)(0 - 5) = 10a$ , sehingga $a = 1$ . Maka $y = (x - 2)(x - 5) = x^{2} - 7x + 10$ . Geser akar dan koefisien $a$ di bawah untuk merasakan bagaimana bentuk faktor membentuk parabola.

Jalan kedua: dari titik puncak

Kalau yang diketahui justru titik puncak $(p, q)$ , paling cepat pakai bentuk puncak: $y = a(x - p)^{2} + q$ . Sekali lagi, nilai $a$ ditentukan oleh satu titik tambahan yang dilewati parabola. Keuntungan bentuk puncak: kamu tidak perlu tahu akarnya, bahkan kalau akarnya imajiner sekalipun rumusnya tetap berlaku.

Sebagai contoh, susun parabola berpuncak $(2, -3)$ yang lewat titik $(0, 1)$ . Tulis $y = a(x - 2)^{2} - 3$ . Substitusi $(0, 1)$ : $1 = a(0 - 2)^{2} - 3 = 4a - 3$ , sehingga $4a = 4$ dan $a = 1$ . Maka $y = (x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4x + 1$ . Geser koordinat puncak dan $a$ di bawah untuk melihat parabola mengikuti.

Pikirkan begini: kalau soal memberi akar, pakai bentuk faktor (akar langsung masuk ke rumus). Kalau soal memberi puncak, pakai bentuk puncak (puncak langsung masuk ke rumus). Pilih bentuk yang membuat informasi yang diketahui “langsung nempel” — menghemat langkah substitusi.

Jalan ketiga: dari tiga titik

Kalau yang diketahui bukan akar maupun puncak, melainkan tiga titik sembarang yang dilewati parabola, kamu pakai bentuk umum $y = ax^{2} + bx + c$ dan menyelesaikan sistem tiga persamaan. Setiap titik $(x_i, y_i)$ memberi satu persamaan: $y_i = ax_{i}^{2} + bx_{i} + c$ . Tiga titik → tiga persamaan → selesaikan untuk $a$ , $b$ , $c$ .

Seret tiga titik di bawah, lalu bayangkan sistem persamaan yang akan kamu bangun dari ketiganya — tiap titik menyumbang satu persamaan linear dalam $a$ , $b$ , $c$ .

Soal TKA dan UTBK kerap memberi “parabola misteri” dalam wujud akar, puncak, atau tiga titik, dan meminta rumusnya. Strategi: cocokkan bentuk dengan informasi — akar → bentuk faktor, puncak → bentuk puncak, tiga titik → bentuk umum. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan penyusunan fungsi kuadrat sebagai cakupan resmi pada Fase E. Jebakan paling sering: lupa bahwa satu titik tambahan tetap dibutuhkan untuk menentukan $a$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah parabola berpuncak di $(1, -2)$ dan melalui titik $(3, 6)$ . Susunlah rumus fungsi kuadratnya.

Karena diketahui titik puncak, pakai bentuk puncak: $y = a(x - 1)^{2} - 2$ (di sini $p = 1$ , $q = -2$ ).

Parabola melalui $(3, 6)$ , jadi substitusi $x = 3$ , $y = 6$ : $6 = a(3 - 1)^{2} - 2 = 4a - 2$ .

$4a = 8$ , sehingga $a = 2$ . Maka $y = 2(x - 1)^{2} - 2 = 2(x^{2} - 2x + 1) - 2 = 2x^{2} - 4x$ . Jadi rumusnya $y = 2x^{2} - 4x$ .

Jebakan: menyusun parabola dari dua akar tanpa titik tambahan, lalu menganggap $a$ pasti 1. Yang benar: dua akar hanya menentukan bentuk $a(x - r_1)(x - r_2)$ ; nilai $a$ tetap bebas sampai satu titik tambahan diberikan. Banyak parabola berbeda bisa berakar sama.

Jebakan: salah tanda saat menulis bentuk faktor, misalnya $y = (x - 2)(x + 5)$ untuk akar $2$ dan $5$ . Yang benar: akar $r$ masuk sebagai faktor $(x - r)$ , jadi akar $5$ ditulis $(x - 5)$ , bukan $(x + 5)$ . Akar negatif $-1$ ditulis $(x - (-1)) = (x + 1)$ .

Jebakan: memaksakan bentuk umum $ax^{2} + bx + c$ padahal yang diketahui akar atau puncak. Yang benar: pilih bentuk yang membuat informasi langsung masuk — bentuk faktor untuk akar, bentuk puncak untuk puncak. Memaksakan bentuk umum membuat kamu menyelesaikan sistem yang sebenarnya tak perlu.

Tiga bentuk setara: umum $ax^{2}+bx+c$ ; faktor $a(x-r_1)(x-r_2)$ ; puncak $a(x-p)^{2}+q$ .
Dari akar → bentuk faktor; nilai $a$ dari satu titik tambahan.
Dari puncak → bentuk puncak; nilai $a$ dari satu titik tambahan.
Dari tiga titik → bentuk umum; selesaikan sistem tiga persamaan.
Pilih bentuk yang membuat informasi yang diketahui langsung menempel pada rumus.