Jumlah & Hasil Kali Akar (Vieta)

Setelah ini kamu bisa memakai rumus Vieta $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ dan $x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ untuk membaca jumlah dan hasil kali akar tanpa mencari akarnya satu per satu.

Bayangkan dua akar persamaan kuadrat tersembunyi di balik parabola. Kamu bisa menggali keduanya lewat rumus abc — tapi kadang kamu tidak butuh akarnya sendiri, hanya butuh jumlah dan hasil kalinya. Ternyata kedua besaran itu tertulis jelas di koefisien $a$ , $b$ , $c$ , cukup dibaca tanpa menggali akar. Coba lihat sendiri hubungannya di bawah.

Geser slider dua akar $r_1$ dan $r_2$ , lalu perhatikan koefisien $b$ dan $c$ berubah mengikuti.

Akar-akar tersembunyi di koefisien

Tiap persamaan kuadrat $ax^{2} + bx + c = 0$ (dengan $a \neq 0$ ) punya dua akar, sebut saja $x_1$ dan $x_2$ . Kedua akar ini bisa ditulis ulang sebagai faktor: $ax^{2} + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Kalau kamu mengalikan faktor di ruas kanan dan menyamakan koefisien dengan ruas kiri, muncul dua hubungan yang sangat berguna.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Arti tiap simbol: $x_1, x_2$ = dua akar persamaan $ax^{2} + bx + c = 0$ ; $a, b, c$ = koefisien dengan $a \neq 0$ . Hubungan ini disebut rumus Vieta.

Dua rumus ini berarti kamu bisa langsung menyebut jumlah dan hasil kali akar hanya dari koefisien, tanpa menjalankan rumus abc. Misalnya $x^{2} - 5x + 6 = 0$ : $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ . Maka $x_1 + x_2 = -\tfrac{-5}{1} = 5$ dan $x_1 \cdot x_2 = \tfrac{6}{1} = 6$ . Dua bilangan yang berjumlah 5 dan bershasil kali 6 adalah 2 dan 3 — dan benar, itulah akarnya.

Jumlah akar langsung dari $-b/a$

Hubungan pertama, $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , memberi jumlah kedua akar cuma dari koefisien $a$ dan $b$ . Tanda negatif di depan sering jadi jebakan: kalau $b$ sendiri sudah negatif, hasilnya malah positif. Geser slider di bawah untuk merasakan bagaimana jumlah akar berubah saat $b$ digeser.

Titik tengah kedua akar selalu berabsis $-\dfrac{b}{2a}$ — itulah absis puncak yang sudah kamu kenal. Jadi rumus jumlah akar sebenarnya adalah “dua kali absis puncak”: $x_1 + x_2 = 2 \cdot \left(-\dfrac{b}{2a}\right) = -\dfrac{b}{a}$ . Dua rumus yang tampak berbeda ternyata berakar pada simetri parabola yang sama.

Hasil kali akar lewat dua titik

Hubungan kedua, $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ , memberi hasil kali kedua akar dari koefisien $a$ dan $c$ . Untuk persamaan monik ( $a = 1$ ), hasil kali akarnya sama persis dengan $c$ . Seret dua titik akar pada garis bilangan di bawah, lalu rasakan bagaimana jumlah dan hasil kalinya saling berinteraksi — kedua akar positif menghasilkan kali positif, tetapi dua akar negatif juga menghasilkan kali positif.

Tanda akar	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$	Contoh koefisien
Dua positif	positif	positif	$b < 0$ , $c > 0$
Dua negatif	negatif	positif	$b > 0$ , $c > 0$
Berlawanan tanda	tergantung	negatif	$c/a < 0$

Dari akar balik ke persamaan

Rumus Vieta juga bekerja dua arah. Kalau kamu tahu jumlah dan hasil kali akar, kamu bisa menyusun persamaan kuadratnya tanpa mencari akar eksplisit. Misal diketahui $x_1 + x_2 = 5$ dan $x_1 \cdot x_2 = 6$ . Maka $-\dfrac{b}{a} = 5$ dan $\dfrac{c}{a} = 6$ . Ambil $a = 1$ , diperoleh $b = -5$ dan $c = 6$ , jadi persamaannya $x^{2} - 5x + 6 = 0$ .

Soal TKA dan UTBK sangat sering memberi persamaan kuadrat lalu meminta kombinasi simetris akar seperti $x_1^{2} + x_2^{2}$ , $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ , atau $(x_1 - x_2)^{2}$ . Semuanya bisa dijawab lewat $x_1 + x_2$ dan $x_1 \cdot x_2$ tanpa menghitung akar. Contoh: $x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1+x_2)^{2} - 2x_1 x_2$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan hubungan akar-koefisien sebagai cakupan resmi pada Fase E. Jebakan paling sering: lupa tanda negatif pada $-\dfrac{b}{a}$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ . Hitunglah nilai $x_1^{2} + x_2^{2}$ tanpa mencari akarnya satu per satu.

$a = 2$ , $b = -8$ , $c = 6$ . Maka $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8}{2} = 4$ , dan $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Pakai identitas $x_1^{2} + x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} - 2 x_1 x_2$ . Substitusi nilai dari langkah 1.

$x_1^{2} + x_2^{2} = (4)^{2} - 2(3) = 16 - 6 = 10$ . Jadi nilai $x_1^{2} + x_2^{2} = 10$ — diperoleh tanpa menyentuh akar eksplisitnya.

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $b$ dan $c$ berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”, pada persamaan $x^{2} + bx + c = 0$ . Tugasmu menghitung jumlah akar $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ (di sini $a = 1$ ).

Jebakan: lupa tanda negatif pada rumus jumlah akar $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , sehingga jumlahnya kebalikan tanda. Yang benar: rumus selalu diawali tanda negatif; kalau $b = -8$ dan $a = 2$ , maka $x_1 + x_2 = -\tfrac{-8}{2} = 4$ .

Jebakan: tertukar antara rumus jumlah ( $-\dfrac{b}{a}$ ) dan rumus hasil kali ( $\dfrac{c}{a}$ ). Yang benar: jumlah memakai $b$ (dengan tanda negatif), hasil kali memakai $c$ (tanpa tanda negatif). Bedakan dari koefisien yang dipakai, bukan dari hafalan urutan.

Jebakan: menganggap rumus Vieta bisa memberi nilai akar eksplisit. Yang benar: Vieta hanya memberi jumlah dan hasil kali akar; untuk nilai akar satu per satu tetap perlu rumus abc atau pemfaktoran. Tapi banyak soal (termasuk $x_1^{2}+x_2^{2}$ ) justru tidak butuh akar eksplisit.

Rumus Vieta: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ dan $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Diturunkan dari pemfaktoran $ax^{2} + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Kombinasi simetris akar (mis. $x_1^{2}+x_2^{2}$ ) dijawab lewat jumlah & hasil kali, tanpa akar eksplisit.
Dua arah: diketahui jumlah & hasil kali akar → persamaan kuadrat bisa disusun.
Tanda hasil kali menunjukkan jenis akar: negatif → berlawanan tanda, positif → searah tanda.

Akar-akar tersembunyi di koefisien

Jumlah akar langsung dari −b/a-b/a−b/a

Hasil kali akar lewat dua titik

Dari akar balik ke persamaan

Jumlah akar langsung dari $-b/a$