Diskriminan: Ramalan Jenis Akar

Setelah ini kamu bisa menghitung diskriminan $D = b^2 - 4ac$ dan menentukan jenis akar persamaan kuadrat serta hubungannya dengan grafik parabola.

Bayangkan kamu ingin tahu apakah sebuah parabola menyentuh sumbu-x, tanpa benar-benar menggambarnya. Ternyata cukup satu perhitungan kecil dari tiga koefisien $a$ , $b$ , $c$ . Hasilnya meramalkan tiga kemungkinan: parabola memotong di dua titik, menyentuh di satu titik, atau melayang tanpa pernah menyentuh. Geser slider di bawah, dan lihat ramalan itu bekerja real-time.

Geser slider $c$ dan perhatikan bagaimana parabola naik-turun sementara nilai $D$ berubah tanda.

Rumus diskriminan

Rumus abc $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ menyimpan satu bagian yang menentukan segalanya: apa pun yang berada di dalam tanda akar. Bagian itu disebut diskriminan, dilambangkan $D$ .

Diskriminan adalah $D = b^2 - 4ac$ , bagian dalam tanda akar pada rumus abc. Tanda $D$ (positif, nol, atau negatif) menentukan jenis akar persamaan kuadrat.

Mengapa tanda $D$ begitu menentukan? Sebab akar kuadrat dari bilangan positif adalah bilangan riil, akar kuadrat dari nol adalah nol, sedangkan akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada di bilangan riil (dihasilkan bilangan imajiner). Tiga kemungkinan tanda $D$ inilah yang memberi tiga jenis akar berbeda.

$D = b^2 - 4ac$

Arti tiap simbol: $a$ , $b$ , $c$ adalah koefisien persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ .

$D > 0$ : dua akar real berbeda

Ketika $D$ positif, $\sqrt{D}$ menghasilkan bilangan riil positif, sehingga rumus abc memberi dua jawaban berbeda: $x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ dan $x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ . Inilah kasus yang sudah kamu temui di pemfaktoran. Secara grafik, parabola memotong sumbu-x di dua titik berbeda.

$D = 0$ : akar kembar

Ketika $D$ nol, $\sqrt{0} = 0$ , sehingga kedua tanda plus dan minus pada rumus abc menghasilkan jawaban yang sama. Akibatnya hanya ada satu nilai akar, yang disebut akar kembar. Secara grafik, parabola tidak memotong melainkan menyinggung sumbu-x di satu titik.

$D < 0$ : akar imajiner

Ketika $D$ negatif, $\sqrt{D}$ tidak ada di bilangan riil — akar kuadrat dari bilangan negatif menghasilkan bilangan imajiner. Akibatnya persamaan tidak punya akar riil. Secara grafik, parabola tidak pernah menyentuh sumbu-x: ia melayang seluruhnya di atas atau di bawah garis itu.

Inilah inti kekuatan diskriminan: dengan satu perhitungan kecil, kamu sudah tahu bentuk hubungan parabola dengan sumbu-x — sebelum menggambar, sebelum mencari akarnya. Tanda $D$ bekerja sebagai “ramalan” geometris: positif untuk memotong, nol untuk menyinggung, negatif untuk melayang jauh.

Soal TKA dan UTBK sangat sering menanyakan jenis akar tanpa meminta nilai akarnya — cukup tentukan tanda diskriminan. Trik cepat: hitung $D = b^2 - 4ac$ , lalu lihat tandanya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan diskriminan dan akar imajiner sebagai cakupan resmi pada Fase E.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan jenis akar dari $2x^2 + 3x - 5 = 0$ tanpa mencari nilainya.

Bandingkan dengan $ax^2 + bx + c = 0$ . Diperoleh $a = 2$ , $b = 3$ , $c = -5$ .

Substitusi ke $D = b^2 - 4ac$ : $D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49$ . Karena $D = 49 > 0$ , persamaan punya dua akar real berbeda.

Karena $D$ positif, parabola $y = 2x^2 + 3x - 5$ pasti memotong sumbu-x di dua titik. (Bila ingin verifikasi: akarnya $x = 1$ dan $x = -2{,}5$ .)

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $a$ , $b$ , $c$ yang berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”. Tugasmu menghitung diskriminan $D = b^2 - 4ac$ dan menuliskan hasilnya — kebiasaan kecil yang akan menyelamatkan banyak soal ujian.

Jebakan: menghitung $D = b^2 - 4ac$ tapi lupa bahwa $c$ bisa negatif, sehingga tanda $-4ac$ berubah. Yang benar: substitusikan tanda $c$ apa adanya. Contoh $2x^2 + 3x - 5 = 0$ dengan $c = -5$ memberi $-4ac = -4(2)(-5) = +40$ , jadi $D = 9 + 40 = 49$ .

Jebakan: menyimpulkan “tidak punya akar” saat $D < 0$ . Yang benar: persamaan tetap punya akar, hanya saja akarnya imajiner (bilangan kompleks). Di Fase E, “tidak ada akar riil” adalah pernyataan yang lebih tepat.

Diskriminan $D = b^2 - 4ac$ menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
$D > 0$ : dua akar real berbeda, parabola memotong sumbu-x di dua titik.
$D = 0$ : akar kembar, parabola menyinggung sumbu-x di satu titik.
$D < 0$ : akar imajiner, parabola tidak menyentuh sumbu-x.
Tanda $D$ meramalkan hubungan parabola dengan sumbu-x tanpa menggambar.

Rumus diskriminan

D>0D > 0D>0: dua akar real berbeda

D=0D = 0D=0: akar kembar

D<0D < 0D<0: akar imajiner

$D > 0$ : dua akar real berbeda

$D = 0$ : akar kembar

$D < 0$ : akar imajiner