Bentuk Umum & Grafik Parabola

Setelah ini kamu bisa mengenali bentuk grafik $y = ax^2 + bx + c$ dan menjelaskan bagaimana tanda $a$ , besar $a$ , serta koefisien $b$ dan $c$ mengubah parabola.

Lemparkan bola ke atas, lalu lihat jalurnya. Melengkung, bukan? Lengkung itulah parabola, dan persamaan yang menggambarkannya selalu berbentuk $y = ax^2 + bx + c$ . Tiga koefisien kecil itu menentukan apakah lengkungannya menghadap ke atas (bola naik lalu turun) atau ke bawah, seberapa tajam melengkungnya, dan dari mana lengkungan itu dimulai. Geser tiga slider di bawah, dan lihat sendiri bagaimana parabola menari mengikuti perintahmu.

Tiga slider mengatur nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Geser satu per satu sambil memperhatikan apa yang berubah.

Tanda $a$ : arah pembukaan parabola

Satu hal paling menentukan dari sebuah parabola adalah tanda koefisien $a$ . Kalau $a$ positif, parabola terbuka ke atas — seperti jalur bola yang dilempar ke atas lalu jatuh kembali. Kalau $a$ negatif, parabola terjungkal ke bawah — seperti lengkungan air mancur yang memancar lalu turun.

Fungsi kuadrat berbentuk $y = ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 0$ . Grafiknya disebut parabola. Koefisien $a$ disebut koefisien kuadrat dan menentukan arah parabola terbuka.

Coba geser slider $a$ melewati nol. Saat $a$ berubah dari positif ke negatif, parabola akan “terjungkal” — puncaknya yang tadinya di bawah kini berpindah ke atas, dan sebaliknya.

Bayangkan parabola sebagai mangkuk. Tanda $a$ positif berarti mangkuknya menadah ke atas (bisa menampung air); tanda $a$ negatif berarti mangkuknya terbalik menutup ke bawah (air akan tumpah).

Besarnya $a$ : curam atau melebar

Selain tanda, nilai mutlak $a$ (ditulis $|a|$ ) mengatur seberapa “sempit” parabola. Makin besar $|a|$ , makin curam dan sempit parabolanya — bola yang dilempar dengan kuat melengkung tajam. Makin kecil $|a|$ (mendekati nol), makin melebar dan landai parabolanya. Saat $a = 0$ , suku kuadrat hilang dan persamaan menjadi garis lurus.

Geser slider di bawah dan amati: saat $|a|$ membesar, dua titik di $x = 1$ dan $x = -1$ menjauh dari sumbu-x dengan cepat — itulah tanda parabola makin curam.

Koefisien $c$ : titik mulai parabola

Koefisien $c$ adalah satu-satunya yang mudah dikenali langsung dari grafik: nilainya sama dengan titik potong sumbu-y. Sebab saat $x = 0$ , suku $ax^2$ dan $bx$ keduanya nol, menyisakan $y = c$ . Inilah titik tempat parabola memotong sumbu tegak.

$y = ax^2 + bx + c$

Saat $x = 0$ : $y = a(0)^2 + b(0) + c = c$ . Jadi titik potong sumbu-y adalah $(0, c)$ .

Geser slider $c$ dan perhatikan parabola naik-turun sejajar tanpa berubah bentuk — kemiringan dan lebar parabola tidak terpengaruh, hanya posisinya yang bergeser.

Koefisien $b$ : geser puncak menyamping

Koefisien $b$ paling sulit dipahami karena efeknya tidak langsung. Mengubah $b$ tidak menggeser parabola lurus ke samping, melainkan menggeser puncaknya sepanjang parabola itu sendiri. Besar $b$ menentukan di mana titik puncak berada secara mendatar.

Geser slider $b$ sambil memperhatikan titik puncak (titik terendah karena $a > 0$ ): titik itu bergerak ke kiri dan ke kanan, dan posisinya tegak juga ikut berubah. Hubungan tepatnya berupa $x_{\text{puncak}} = -\frac{b}{2a}$ , yang akan dibahas tuntas di artikel titik puncak.

Merangkai tiga koefisien: tantangan cocokkan

Sekarang uji pemahamanmu. Di bawah ada parabola target (garis putus-putus) yang membeku, dan parabola milikmu (garis penuh) yang bisa kamu atur lewat tiga slider. Atur $a$ , $b$ , dan $c$ sampai parabola-mu menempel pada target — kalau berhasil, berarti kamu sudah bisa membaca tiga koefisien dari sebuah grafik.

Di TKA dan UTBK, soal parabola sering memberikan grafik dan meminta kamu menebak tanda $a$ , $b$ , atau $c$ . Triknya: lihat arah pembukaan untuk tanda $a$ , lihat titik potong sumbu-y untuk nilai $c$ , dan posisi puncak untuk perkiraan $b$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan persamaan dan fungsi kuadrat sebagai cakupan resmi, termasuk akar imajiner.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah parabola memotong sumbu-y di titik $(0, 3)$ , terbuka ke bawah, dan puncaknya berada di sebelah kiri sumbu-y. Tentukan tanda $a$ , $b$ , dan $c$ beserta nilainya jika parabola melalui titik $(1, 0)$ .

Parabola terbuka ke bawah, jadi koefisien $a$ harus negatif ( $a < 0$ ).

Parabola memotong sumbu-y di $(0, 3)$ , dan kita tahu titik potong itu sama dengan $c$ . Jadi $c = 3$ .

Puncak berada di kiri sumbu-y, berarti $x_{\text{puncak}} < 0$ . Karena $x_{\text{puncak}} = -\frac{b}{2a}$ dan $a < 0$ , maka penyebut $2a$ negatif. Agar $x_{\text{puncak}}$ negatif, pembilang $-b$ harus positif, sehingga $b < 0$ . Jadi $b$ negatif.

Masukkan titik $(1, 0)$ ke $y = ax^2 + bx + c$ : $0 = a(1)^2 + b(1) + 3$ , jadi $a + b = -3$ . Dengan $a$ dan $b$ keduanya negatif, satu kemungkinan adalah $a = -1$ dan $b = -2$ (memenuhi $-1 + (-2) = -3$ ). Persamaannya: $y = -x^2 - 2x + 3$ .

Cocokkan jawabanmu di grafik: gunakan preset “Terjungkal ke bawah” lalu atur $a = -1$ , $b = -2$ , $c = 3$ .

Jebakan: mengira nilai $c$ memengaruhi arah atau kelengkungan parabola. Yang benar: $c$ hanya menggeser parabola naik-turun; arah dan kelengkungan sepenuhnya ditentukan oleh $a$ .

Jebakan: mengira $b$ menggeser parabola lurus ke samping seperti $c$ menggeser ke atas. Yang benar: $b$ mengubah posisi puncak sepanjang parabola, sehingga bentuknya “miring” — bukan geseran murni.

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 0$ bergrafik parabola.
Tanda $a$ menentukan arah: positif terbuka ke atas, negatif terjungkal ke bawah.
Besar $|a|$ mengatur kelengkungan: makin besar makin curam dan sempit.
Koefisien $c$ = titik potong sumbu-y, yaitu $(0, c)$ .
Koefisien $b$ menggeser puncak menyamping dengan $x_{\text{puncak}} = -\frac{b}{2a}$ .

Tanda aaa: arah pembukaan parabola

Besarnya aaa: curam atau melebar