Mencari Akar dengan Pemfaktoran

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan menjelaskan hubungan antara akar dengan titik potong parabola di sumbu-x.

Sebuah bola dilempar dari tanah dan jatuh kembali ke tanah. Kapan bola menyentuh tanah? Tepat saat tingginya nol. Persamaan kuadrat mencari momen seperti itu: nilai $x$ yang membuat $y = 0$ . Itulah akar, dan ia selalu berada tepat di tempat parabola memotong sumbu-x. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser dua slider akar $x_1$ dan $x_2$ , lalu perhatikan di mana parabola menyentuh sumbu-x.

Sifat perkalian nol

Kunci menyelesaikan persamaan kuadrat adalah satu sifat sederhana dari perkalian. Kalau dua bilangan dikalikan dan hasilnya nol, maka pasti salah satunya nol. Tidak ada jalan lain — sebab bilangan bukan nol yang dikalikan akan selalu menghasilkan bilangan bukan nol.

Akar persamaan kuadrat adalah nilai $x$ yang membuat persamaan menjadi benar, yaitu nilai yang menghasilkan $y = 0$ . Secara geometris, akar = titik potong parabola dengan sumbu-x.

Inilah inti pemfaktoran: ubah persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ menjadi bentuk perkalian $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ . Karena hasil kalinya nol, maka $x - x_1 = 0$ atau $x - x_2 = 0$ , sehingga $x = x_1$ atau $x = x_2$ . Dua nilai itulah akarnya.

$(x - x_1)(x - x_2) = 0 \;\Rightarrow\; x = x_1 \;\text{atau}\; x = x_2$

Arti tiap simbol: $x_1$ dan $x_2$ adalah akar, yaitu nilai yang membuat persamaan menjadi nol.

Memfaktorkan $x^2 - 5x + 6$

Coba terapkan ke $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Kita cari dua bilangan yang kalinya 6 dan jumlahnya $-5$ . Pasangan itu adalah $-2$ dan $-3$ : keduanya dikali menghasilkan $6$ , dan dijumlahkan menghasilkan $-5$ . Maka pemfaktorannya menjadi $(x - 2)(x - 3) = 0$ .

Dari sini langsung terbaca akarnya: $x - 2 = 0$ memberi $x = 2$ , dan $x - 3 = 0$ memberi $x = 3$ . Lihat grafik di bawah — parabola $y = x^2 - 5x + 6$ memotong sumbu-x tepat di $x = 2$ dan $x = 3$ . Akar aljabar dan titik potong grafik selalu berimpit.

Akar kembar dan kasus tak terfaktor

Tidak semua persamaan punya dua akar berbeda. Kadang kedua akarnya sama, disebut akar kembar. Itu terjadi ketika pemfaktoran menghasilkan kuadrat sempurna, misalnya $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0$ . Akarnya hanya satu nilai, $x = 2$ , dan parabola hanya menyentuh sumbu-x di satu titik tanpa memotongnya.

Ada pula persamaan yang tidak bisa difaktorkan dengan bilangan rasional, misalnya $x^2 + x + 1 = 0$ . Tidak ada dua bilangan riil yang kalinya 1 sekaligus jumlahnya 1. Grafiknya pun tidak pernah menyentuh sumbu-x — parabola selalu berada di atasnya, jadi tidak ada akar riil.

Untuk kasus seperti ini, ada jalan keluar umum yang disebut rumus abc: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Rumus itu bekerja pada persamaan kuadrat apa pun — akar berbeda, kembar, maupun imajiner — sehingga menjadi pelengkap pemfaktoran. Cara menentukan jenis akar tanpa menghitungnya akan dibahas tuntas di artikel diskriminan.

Latihan pemfaktoran

Sekarang giliranmu memfaktorkan sendiri. Soal di bawah mengganti angka tiap kali kamu menekan tombol “Soal baru”, jadi kamu bisa berlatih berkali-kali. Kamu diberi dua akar bulat $x_1$ dan $x_2$ — tugas kamu menulis jumlah kedua akar, yang juga sama dengan $-b$ pada persamaan $x^2 - bx + c = 0$ yang akarnya $x_1$ dan $x_2$ . Ini jalan pintas yang memaksa kamu membaca akar dari bentuk faktor.

Pikirkan pemfaktoran sebagai “membongkar” persamaan menjadi dua persamaan kecil yang lebih mudah: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ menjadi $x = x_1$ atau $x = x_2$ . Pekerjaan berat sudah selesai saat kamu menemukan dua bilangan yang kalinya dan jumlahnya cocok.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan persamaan $x^2 + 3x - 10 = 0$ dengan pemfaktoran.

Kita butuh dua bilangan yang kalinya $-10$ (konstanta) dan jumlahnya $3$ (koefisien $x$ ). Pasangan faktor 10: $1\cdot10$ , $2\cdot5$ . Karena kalinya harus negatif, satu positif satu negatif. Pasangan $5$ dan $-2$ menghasilkan $5 \cdot (-2) = -10$ dan $5 + (-2) = 3$ . Cocok.

Dengan akar $5$ dan $-2$ , persamaan menjadi $(x - 5)(x + 2) = 0$ . Perhatikan tanda: faktor untuk akar $-2$ ditulis $(x - (-2)) = (x + 2)$ .

Pakai sifat perkalian nol: $x - 5 = 0$ memberi $x = 5$ , dan $x + 2 = 0$ memberi $x = -2$ . Jadi himpunan akarnya $\{5, -2\}$ .

Parabola $y = x^2 + 3x - 10$ harus memotong sumbu-x tepat di $x = -2$ dan $x = 5$ . Coba pakai slider di alat pertama dengan $x_1 = -2$ dan $x_2 = 5$ — kamu akan lihat parabola berimpit dengan yang ini.

Jebakan: menukar tanda saat menulis faktor — menulis $(x + 3)$ untuk akar $x = 3$ . Yang benar: akar positif $3$ menghasilkan faktor $(x - 3)$ , karena $x - 3 = 0$ memberi $x = 3$ . Akar negatif $-3$ yang menghasilkan faktor $(x + 3)$ .

Jebakan: menganggap parabola selalu memotong sumbu-x di dua titik. Yang benar: bisa dua titik berbeda, satu titik (akar kembar), atau tidak sama sekali (kasus tak terfaktor). Pemfaktoran gagal jika tidak ada pasangan bilangan riil yang cocok — di situ butuh rumus abc.

Akar persamaan kuadrat adalah nilai $x$ yang membuat $y = 0$ .
Pakai sifat perkalian nol: $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ memberi $x = x_1$ atau $x = x_2$ .
Pemfaktoran = cari dua bilangan yang kalinya $c$ dan jumlahnya $b$ .
Akar kembar = pemfaktoran kuadrat sempurna, parabola menyinggung sumbu-x.
Persamaan tak terfaktor tidak punya akar riil; gunakan rumus abc.

Sifat perkalian nol

Memfaktorkan x2−5x+6x^2 - 5x + 6x2−5x+6

Akar kembar dan kasus tak terfaktor

Latihan pemfaktoran

Memfaktorkan $x^2 - 5x + 6$