Luas Daerah dengan Integral — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung luas daerah antara kurva dan sumbu-x dengan integral tentu, menangani daerah di bawah sumbu-x, serta menghitung luas apit antara dua kurva.

Bayangkan sebuah danau yang permukaan airnya adalah sumbu-x. Sebuah bukit berbentuk parabola menjulang di atas permukaan — luas tanah kering antara bukit dan permukaan air bisa kamu hitung dengan integral tentu. Tapi bagaimana kalau ada lembah yang menyelam di bawah permukaan, atau dua bukit berdampingan dengan lembah di antaranya? Integral tentu tahu menjawab semua, asal kamu memahami dua hal: tanda luas dan batas yang tepat. Geser slider di bawah dan saksikan arsiran luas tumbuh menyusuri bentuk daerah yang aneka ragam.

Coba geser slider batas $b$ , dan perhatikan arsiran luas melebar beserta nilai integral yang terbaca live.

Luas daerah di atas sumbu-x

Untuk kurva $f(x)$ yang selalu berada di atas sumbu-x pada interval $[a, b]$ , luas daerah antara kurva dan sumbu-x sama persis dengan integral tentunya:

$\text{Luas} = \int_a^b f(x)\, dx \quad (\text{saat } f(x) \geq 0)$

Arti tiap simbol: $f(x)$ adalah tinggi kurva di posisi $x$ ; integral menjumlahkan luas pita-pita tipis setinggi $f(x)$ sepanjang interval $[a, b]$ .

Pada plot utama, kurva $y = 0{,}5 x^2 + 1$ selalu di atas sumbu-x sehingga arsiran (positif) langsung menyatakan luas. Antiturunannya $F(x) = \dfrac{x^3}{6} + x$ , sehingga luas dari $0$ ke $b$ adalah $\dfrac{b^3}{6} + b$ .

Saat kurva menyelam: luas bertanda

Integral tentu sebenarnya menghitung luas bertanda: daerah di atas sumbu-x positif, daerah di bawah sumbu-x negatif. Jadi kalau kamu mengintegralkan sebuah kurva yang menyelam di bawah sumbu-x tanpa hati-hati, hasilnya bisa negatif — padahal luas geometri selalu positif.

Luas bertanda integral $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx$ menjumlahkan daerah di atas sumbu-x sebagai positif dan di bawah sumbu-x sebagai negatif. Luas geometris selalu positif dan dihitung dengan nilai mutlak: $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\, dx$ .

Pada plot di bawah, kurva $y = x^2 - 4$ menyelam di bawah sumbu-x pada interval $[-2, 2]$ . Integral tentu dari $-2$ ke $2$ menghasilkan nilai negatif karena seluruh daerah berada di bawah sumbu-x.

Luas geometris: ambil nilai mutlak

Untuk mendapatkan luas geometri yang selalu positif, kamu memecah integral pada titik-titik di mana kurva memotong sumbu-x (akar-akar $f(x) = 0$ ), lalu mengambil nilai mutlak tiap bagian. Untuk $f(x) = x^2 - 4$ pada $[-2, 2]$ : $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\, dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} = \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 8\right) = -\dfrac{32}{3}$ . Luas geometrisnya $\dfrac{32}{3}$ (ambil nilai mutlak).

$\text{Luas geometris} = \int_a^b |f(x)|\, dx$

Arti tiap simbol: $|f(x)|$ mengubah bagian negatif jadi positif; pecah integral di titik potong sumbu-x supaya tiap bagian punya tanda konsisten.

Pada plot di bawah, kurva $y = x^2 - 1$ memotong sumbu-x di $x = \pm 1$ ; daerah di luar $[-1, 1]$ positif (aksen positif), daerah di dalamnya negatif (aksen negatif). Luas geometris total menjumlahkan nilai mutlak kedua bagian.

Bayangkan sumbu-x sebagai garis pantai. Daerah di atas garis pantai adalah daratan (positif), daerah di bawahnya adalah laut (negatif). Integral tentu biasa menghitung selisih daratan dan laut. Tapi kalau kamu ingin tahu total area tertutup — baik darat maupun laut — kamu ambil nilai mutlaknya dulu, baru jumlahkan.

Luas antara dua kurva

Untuk luas daerah yang diapit dua kurva $f(x)$ (atas) dan $g(x)$ (bawah) pada $[a, b]$ , rumusnya lebih sederhana: integralkan selisih $f(x) - g(x)$ . Asalkan $f(x) \geq g(x)$ di seluruh interval, daerah yang diarsir selalu positif.

$\text{Luas antara dua kurva} = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\, dx, \quad f(x) \geq g(x)$

Arti tiap simbol: $f(x)$ = kurva atas, $g(x)$ = kurva bawah; selisihnya = tinggi pita pada posisi $x$ ; integral menjumlahkan pita-pita itu sepanjang $[a, b]$ .

Pada plot di bawah, dua kurva $f = x + 2$ (atas, aksen1) dan $g = x^2$ (bawah, aksen2) mengapit sebuah daerah; arsiran (positif) adalah luasnya. Geser batas untuk melihat daerah apit berubah.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memintamu menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu-x atau antara dua kurva (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: tentukan dulu batas (akar atau titik potong), periksa tanda kurva di interval, baru integralkan dengan benar — ambil nilai mutlak untuk luas geometris.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva $y = x^2 - 1$ dan sumbu-x pada interval $[-2, 2]$ .

$f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ . Jadi pecah integral di tiga bagian: $[-2, -1]$ , $[-1, 1]$ , $[1, 2]$ .

Pada $[-2, -1]$ : $f(-1{,}5) = 1{,}25 > 0$ (atas sumbu). Pada $[-1, 1]$ : $f(0) = -1 < 0$ (bawah sumbu). Pada $[1, 2]$ : $f(1{,}5) = 1{,}25 > 0$ (atas sumbu).

$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$ . Bagian 1: $\left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{-1} = \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 2\right) = \dfrac{4}{3}$ . Bagian 2: $\left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1} = \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right) = -\dfrac{4}{3}$ , ambil mutlak $\dfrac{4}{3}$ . Bagian 3 sama dengan bagian 1 sebab simetri: $\dfrac{4}{3}$ . Total luas geometris $= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$ satuan luas.

Latih kecepatan menghitung luas daerah sederhana di bawah.

Jebakan: langsung mengintegralkan kurva yang menyelam di bawah sumbu-x tanpa memecah di titik potong, lalu mengambil hasilnya sebagai luas. Yang benar: integral tentu biasa menghasilkan luas bertanda (bisa negatif); untuk luas geometris, pecah di titik potong sumbu-x dan ambil nilai mutlak tiap bagian.

Jebakan: pada luas antara dua kurva, menulis integral $\int (g(x) - f(x))\, dx$ tanpa memastikan mana kurva atas. Yang benar: selalu kurangkan kurva atas dengan kurva bawah, $\int (f_{\text{atas}} - f_{\text{bawah}})\, dx$ , supaya hasilnya positif.

Luas daerah di atas sumbu-x $= \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx$ saat $f(x) \geq 0$ .
Integral tentu biasa = luas bertanda; di atas sumbu positif, di bawah negatif.
Luas geometris selalu positif: $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\, dx$ — pecah di titik potong sumbu-x.
Luas antara dua kurva $= \displaystyle\int_a^b (f_{\text{atas}} - f_{\text{bawah}})\, dx$ .
Tentukan batas (akar/titik potong) dulu, periksa tanda, baru integralkan.