Fungsi Tangga & Piecewise — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa memodelkan aturan bertingkat seperti tarif parkir dengan fungsi sepotong-sepotong dan membaca grafik tangga yang melompat di tiap ambang.

Masuk parkir bawah tanah satu jam, kamu bayar lima ribu. Tiga jam, sebelas ribu. Lima jam, tujuh belas ribu. Biayanya tidak naik mulus seperti tangga geser — melainkan melompat seribu per jam, persis di detik jarum jam menunjuk angka bulat. Inilah fungsi tangga: nilai yang melonjak mendadak di ambang tertentu, lalu diam menunggu lompatan berikutnya. Banyak hal di dunia nyata — tarif, ongkir, pajak — bekerja begitu. Coba geser slider di bawah, dan lihat sendiri biaya itu melompat.

Coba geser slider $t$ (durasi parkir dalam jam), lalu amati biaya total melompat di tiap ambang jam bulat.

Apa itu fungsi tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang nilainya konstan di sebuah interval, lalu melompat mendadak ke nilai baru di batas interval berikutnya. Grafiknya terlihat seperti anak tangga — datar, naik, datar, naik. Tarif parkir adalah contoh paling jelas: selama jam pertama biaya Rp 5.000, lalu setiap jam berikutnya menambah Rp 3.000 serempak di awal jam.

Fungsi tangga adalah fungsi piecewise yang nilainya konstan pada tiap interval dan melompat di batas antar-interval. Fungsi piecewise adalah fungsi yang ditentukan oleh rumus berbeda pada bagian-bagian domain yang berbeda.

Membaca lompatan di ambang

Kunci membaca grafik tangga adalah menandai ambang — nilai $x$ tempat lompatan terjadi. Untuk tarif “Rp 5.000 jam pertama, Rp 3.000 per jam berikutnya”, ambangnya setiap jam bulat: $t = 2, 3, 4, \ldots$ . Tepat saat $t$ melewati 2, biaya melompat dari Rp 5.000 ke Rp 8.000; melewati 3, lompat ke Rp 11.000; demikian seterusnya.

$\text{Biaya}(t) = 5000 + 3000 \cdot \max(0, \lceil t \rceil - 1)$

Arti tiap simbol: $t$ durasi parkir (jam), $\lceil t \rceil$ pembulatan ke atas ke jam bulat, suku pertama tarif dasar, suku kedua tarif per jam berikutnya.

Pada plot di bawah, titik penanda melompat di tiap ambang jam bulat saat slider $t$ digeser. Perhatikan biaya tetap konstan di dalam satu jam, lalu naik serempak tepat saat $t$ melewati bilangan bulat.

Piecewise: rumus berbeda di bagian berbeda

Tidak semua fungsi sepotong-sepotong berbentuk tangga. Fungsi piecewise umum memakai rumus berbeda di bagian domain yang berbeda, dan rumus-rumus itu boleh linier, kuadrat, atau apa pun. Contoh klasik: tarif taksi “Rp 10.000 untuk 2 km pertama, Rp 4.000 per km berikutnya” — pada 2 km pertama grafiknya datar (hanya ongkos pangkal), setelah itu naik lurus mengikuti jarak.

Geser batas $p$ pada plot di bawah. Sebelum $p$ berlaku cabang datar (ongkos pangkal), setelah $p$ berlaku cabang naik linier (tarif per km). Titik sambung di $x = p$ menunjukkan tempat dua cabang bertemu.

Model kontinu vs tangga

Banyak biaya nyata bisa dilihat dua cara. Model kontinu memperlakukan biaya sebagai garis mulus: tiap km tambahan menambah tarif sedikit demi sedikit. Model tangga membulatkan ke atas ke ambang berikutnya: biaya melompat serempak di tiap km bulat. Model tangga inilah yang sebenarnya dipakai parkir dan ongkir — kamu membayar per jam penuh, bukan per menit.

Pada plot di bawah, dua kurva dibandingkan. Kurva kontinu (netral) naik mulus; kurva tangga (aksen1) naik serempak di tiap ambang. Selisih keduanya = “rugi” pelanggan karena pembulatan ke atas.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut dan UTBK Penalaran Matematika kerap menyajikan tabel tarif atau aturan bertingkat lalu menanyakan biaya total, atau meminta menulis fungsi piecewise. Triknya: pecah domain menjadi interval, tulis rumus tiap interval, dan tandai ambang tempat lompatan terjadi. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan fungsi piecewise pada elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tarif parkir: Rp 5.000 untuk jam pertama, Rp 3.000 per jam berikutnya. Berapa biaya parkir 4 jam 20 menit?

Tarif dihitung per jam, dan 20 menit dihitung sebagai satu jam penuh (pembulatan ke atas). Jadi 4 jam 20 menit dibulatkan menjadi 5 jam.

Jam pertama: Rp 5.000. Sisa 4 jam (dari total 5 jam) dikenai tarif Rp 3.000 per jam: $4 \times 3000 = 12.000$ .

Biaya total $= 5000 + 12000 = 17.000$ . Jadi parkir 4 jam 20 menit membayar Rp 17.000.

Latih kecepatan menghitung tarif parkir bertingkat dengan angka acak di bawah.

Jebakan: pada tarif “Rp 5.000 jam pertama, Rp 3.000 per jam berikutnya” untuk 4 jam, mengalikan $4 \times 3000 = 12.000$ lalu menambah 5.000 menjadi 17.000. Yang benar: jam pertama sudah termasuk dalam tarif dasar Rp 5.000, jadi hanya 3 jam berikutnya yang dikenai Rp 3.000: $5000 + 3 \times 3000 = 14.000$ .

Jebakan: memperlakukan parkir 2 jam 10 menit sebagai 2 jam saja karena “baru lewat sedikit”. Yang benar: tarif parkir dibulatkan ke atas ke jam penuh, sehingga 2 jam 10 menit dihitung sebagai 3 jam.

Fungsi tangga nilainya konstan di tiap interval dan melompat di ambang antar-interval.
Fungsi piecewise memakai rumus berbeda di bagian domain yang berbeda; tangga adalah kasus khusus.
Tarif parkir “Rp {d} jam pertama, Rp {r} per jam berikutnya” untuk $t$ jam: $d + r(t - 1)$ .
Lompatan terjadi tepat di ambang jam bulat; tandai ambang untuk membaca grafik tangga.
Model kontinu naik mulus; model tangga membulatkan ke atas — biasanya lebih mahal.