Fungsi Rasional & Asimtot — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mensketsa fungsi rasional sederhana dengan menentukan asimtot tegak, asimtot datar, dan membedakan lubang dari asimtot.

Coba bagi sepuluh permen secara merata kepada sejumlah teman. Kalau dua orang, masing-masing dapat lima; kalau sepuluh orang, dapat satu; kalau seribu orang, masing-masing hanya sepotong tipis. Tapi bagaimana kalau pembaginya nol orang? Persis di titik itu fungsi rasional meledak ke tak hingga, dan kurvanya menjerat ke arah sebuah garis tegak yang tak pernah disentuh. Inilah inti fungsi rasional: pecahan polinomial yang punya “dinding tak tampak”. Geser slider di bawah, dan lihat sendiri dinding itu muncul.

Coba geser slider $a$ dan $h$ , lalu amati bagaimana kurva $y = \dfrac{a}{x - h}$ menjauhi dan mendekati dua garis batas.

Bentuk dasar fungsi rasional

Fungsi rasional adalah perbandingan dua polinomial, $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , dengan $Q(x) \neq 0$ . Bentuk paling sederhana dan paling sering muncul di soal adalah $f(x) = \dfrac{a}{x - h}$ , di mana $a$ mengatur regangan dan $h$ menggeser seluruh kurva menyamping. Karena ada penyebut, beberapa nilai $x$ dilarang — di sanalah asimtot lahir.

Fungsi rasional berbentuk $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ dengan $P$ dan $Q$ polinomial serta $Q(x) \neq 0$ . Grafiknya punya asimtot — garis batas yang didekati kurva tetapi tak pernah dipotong.

Asimtot tegak dari penyebut nol

Asimtot tegak muncul tepat di nilai $x$ yang membuat penyebut nol. Untuk $f(x) = \dfrac{a}{x - h}$ , penyebut nol saat $x - h = 0$ , yaitu $x = h$ . Di titik itu fungsi tidak terdefinisi — kurvanya “meledak” ke atas dan ke bawah seakan ditolak dinding tak tampak. Itulah asimtot tegak $x = h$ .

$\text{Asimtot tegak: selesaikan } Q(x) = 0$

Arti tiap simbol: $Q(x)$ adalah polinomial penyebut; akar-akarnya yang tidak dicoret oleh pembilang menjadi calon asimtot tegak.

Geser $h$ pada plot di bawah. Garis asimtot tegak $x = h$ (negatif) ikut bergeser bersama kurva — saat $h$ positif kurva bergeser ke kanan, saat negatif ke kiri. Perhatikan kurva tidak pernah benar-benar menyentuh garis itu, hanya makin curam mendekatinya.

Asimtot datar dari rasio koefisien

Saat $x$ menuju tak hingga (sangat besar positif atau negatif), nilai fungsi rasional cenderung mendekati sebuah garis horizontal yang disebut asimtot datar. Untuk bentuk $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ , asimtot datarnya adalah $y = \dfrac{a}{c}$ — rasio koefisien pangkat tertinggi pembilang terhadap penyebut. Pada bentuk dasar $\dfrac{a}{x - h}$ , koefisien $x$ di pembilang adalah nol, sehingga asimtot datarnya $y = 0$ .

Geser slider pembilang dan penyebut di bawah. Saat $x$ menjauh ke kiri atau kanan, kurva makin menempel ke garis datar $y = \dfrac{a}{c}$ (netral), tak pernah benar-benar menyentuh.

Lubang: saat faktor pembilang dan penyebut sama

Kadang sebuah faktor muncul bersamaan di pembilang dan penyebut, misalnya $f(x) = \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x + 1)}$ . Secara aljabar kamu bisa mencoret $(x - 2)$ dan menyederhanakan menjadi $\dfrac{1}{x + 1}$ . Tapi nilai $x = 2$ tetap dilarang pada fungsi asli, sehingga di titik itu muncul lubang — bukan asimtot tegak. Bedanya: kurva di sekitar lubang tetap mulus, hanya ada satu titik yang hilang.

Pada plot di bawah, dua kurva dibandingkan. Kurva $\dfrac{(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)}$ (aksen1) memiliki lubang di $x = 2$ , sedangkan $\dfrac{1}{x + 1}$ (aksen2) punya asimtot tegak di $x = -1$ yang sama. Perhatikan kurva aksen1 mulus melewati $x = 2$ (cuma satu titik hilang), tetapi menjauh menuju $x = -1$ .

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap menyuruh mensketsa grafik fungsi rasional atau menentukan nilai $f(x)$ dekat asimtot. Triknya: cari akar penyebut untuk asimtot tegak, bandingkan koefisien utama pembilang-penyebut untuk asimtot datar, lalu coret faktor yang sama untuk menemukan lubang. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan fungsi rasional pada elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan asimtot tegak, asimtot datar, dan lubang (bila ada) dari $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x^2 - 3x}$ .

Pembilang: $2x - 6 = 2(x - 3)$ . Penyebut: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ . Maka $f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x(x - 3)}$ .

Faktor $(x - 3)$ muncul di pembilang dan penyebut, jadi dicoret: $f(x) = \dfrac{2}{x}$ untuk $x \neq 3$ . Karena $x = 3$ dilarang pada fungsi asli, di titik itu muncul lubang, bukan asimtot. Nilai lubang: $\dfrac{2}{3}$ , sehingga titik lubangnya $(3, 0,67)$ .

Setelah disederhanakan menjadi $\dfrac{2}{x}$ , penyebut nol saat $x = 0$ , jadi asimtot tegaknya $x = 0$ . Asimtot datarnya $y = 0$ karena pangkat penyebut lebih tinggi dari pembilang. Jadi: asimtot tegak $x = 0$ , asimtot datar $y = 0$ , lubang di $(3, 0,67)$ .

Latih kecepatan menghitung nilai fungsi rasional dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menyamakan lubang dengan asimtot tegak hanya karena penyebut nol. Yang benar: bila faktor yang membuat penyebut nol juga muncul di pembilang, titik itu menjadi lubang (satu titik hilang), bukan asimtot tegak (kurva meledak). Cari dulu faktor persekutuan sebelum menetapkan asimtot.

Jebakan: pada $f(x) = \dfrac{3x + 1}{2x - 4}$ , mengira asimtot datarnya $y = 3$ (koefisien pembilang saja). Yang benar: bandingkan koefisien utama pembilang dengan penyebut, yaitu $3/2 = 1,5$ .

Fungsi rasional $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ ; beberapa nilai $x$ dilarang karena membuat penyebut nol.
Asimtot tegak = akar penyebut yang tidak dicoret pembilang; kurva meledak mendekatinya.
Asimtot datar untuk $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ adalah $y = \dfrac{a}{c}$ , rasio koefisien utama.
Faktor yang sama di pembilang dan penyebut menghasilkan lubang, bukan asimtot tegak.
Sketsa: tandai asimtot dulu, lalu gambar kurva yang menempel ke garis-garis batas itu.