Fungsi Logaritma & Grafiknya

Setelah ini kamu bisa mensketsa grafik fungsi logaritma $y = \log_b x$ , menjelaskan hubungannya sebagai cermin eksponensial terhadap $y = x$ , serta mengenali peran basis dan asimtot tegaknya.

Kurva $y = 2^x$ menanjak curam ke kanan, hampir meroket. Kalau kamu mencerminkannya terhadap garis $y = x$ (bertukar absis dan ordinat), kamu dapat kurva lain yang juga menanjak, tetapi dari kiri yang “menempel” vertikal di sumbu-y lalu melandai ke kanan. Itulah grafik $y = \log_2 x$ . Logaritma dan eksponen adalah dua sisi cermin yang sama. Kenapa? Karena logaritma adalah invers eksponen. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider basis $b$ , lalu amati bagaimana kurva eksponen $b^x$ dan log $\log_b x$ saling bercermin terhadap garis $y = x$ .

Logaritma sebagai invers eksponen

Fungsi logaritma $y = \log_b x$ berarti “pangkat berapa $b$ agar dapat $x$ ?” — yaitu $b^y = x$ . Karena itu logaritma adalah invers fungsi eksponensial: kalau $f(x) = b^x$ , maka $f^{-1}(x) = \log_b x$ . Dan invers fungsi secara geometris adalah pencerminan grafik terhadap garis $y = x$ (lihat artikel invers). Itulah sebabnya kurva $b^x$ dan $\log_b x$ saling bercermin di widget di atas.

Fungsi logaritma $y = \log_b x$ adalah invers dari fungsi eksponensial $y = b^x$ , dengan basis $b > 0$ , $b \neq 1$ . Domainnya $x > 0$ (log hanya terdefinisi untuk bilangan positif), dan kodomainnya seluruh bilangan real.

Hubungan geometris cermin $y = x$

Ciri pencerminan $y = x$ adalah setiap titik $(a, b)$ pada eksponen bersesuaian dengan titik $(b, a)$ pada log. Contoh basis 2: titik $(3, 8)$ di kurva $y = 2^x$ (sebab $2^3 = 8$ ) bercermin jadi titik $(8, 3)$ di kurva $y = \log_2 x$ (sebab $\log_2 8 = 3$ ). Dua titik potong sumbu juga bercermin: eksponen lewat $(0, 1)$ ( $b^0 = 1$ ), log lewat $(1, 0)$ ( $\log_b 1 = 0$ ).

$y = \log_b x \iff b^y = x \quad (b > 0, \; b \neq 1, \; x > 0)$

Arti tiap simbol: $y$ = hasil logaritma; $b$ = basis; $x$ = numerus (argumen, harus positif). Invers: $b^y$ mengembalikan $x$ .

Peran basis $b$ : landai atau curam

Basis $b$ menentukan kecuraman kurva log. Untuk $b > 1$ , kurva monoton naik. Makin besar $b$ , kurva makin landai — butuh pertambahan $x$ besar untuk menaikkan $y$ sedikit. Sebaliknya, basis mendekati 1 (mis. $b = 2$ ) membuat kurva lebih curam di dekat $x = 1$ . Ingat: log basis besar “menekan” sumbu-x — itulah inti skala logaritmik (Richter, pH).

Basis log seperti “jarum jam” yang berputar makin lambat saat angka makin besar. Log basis 10 dari 10, 100, 1000 hanya 1, 2, 3 — tiga tingkat saja untuk melompat tiga orde besaran. Itulah mengapa skala desibel, pH, dan Richter memakai log: mereka memampatkan rentang raksasa menjadi tangga pendek.

Geser basis di bawah dan bandingkan dua kurva: $\log_2 x$ (curam) dan $\log_{10} x$ (landai). Perhatikan keduanya lewat titik yang sama $(1, 0)$ , tetapi melandai dengan kecepatan berbeda.

Asimtot tegak $x = 0$

Berbeda dari eksponen yang punya asimtot datar $y = 0$ , fungsi logaritma punya asimtot tegak $x = 0$ (sumbu-y). Saat $x$ mendekati nol dari kanan ( $x \to 0^+$ ), nilai $\log_b x$ menuju $-\infty$ — kurva “menyelam” ke bawah tanpa menyentuh sumbu-y. Ini konsekuensi langsung dari pencerminan: asimtot datar $y = 0$ pada eksponen bercermin jadi asimtot tegak $x = 0$ pada log. Logaritma juga tak terdefinisi untuk $x \leq 0$ (lihat artikel sifat log).

$\lim_{x \to 0^+} \log_b x = -\infty \quad (b > 1)$

Arti tiap simbol: $\lim$ = nilai yang didekati; $x \to 0^+$ = $x$ mendekati 0 dari sisi positif. Kurva tak pernah menyentuh sumbu-y, melainkan “menyelam” sepanjang itu.

Geser $x$ mendekati nol dari kanan lewat slider di bawah, dan amati nilai kurva makin negatif tanpa batas — tetapi kolom nilai tak pernah menunjukkan bahwa kurva menyentuh sumbu-y.

Berlatih membaca grafik log

Soal sering memberi grafik log lalu bertanya nilai di suatu $x$ , atau sebaliknya. Berlatihlah membaca pasangan kunci: $\log_b 1 = 0$ , $\log_b b = 1$ , $\log_b b^k = k$ .

Grafik fungsi logaritma termasuk ragam fungsi pada elemen aljabar kerangka TKA Matematika Tingkat Lanjut 045/H/AN/2025, serta muncul di Pengetahuan Kuantitatif UTBK. Jebakan paling sering: tertukar asimtot (tegak $x = 0$ pada log vs datar $y = 0$ pada eksponen), atau mengira log terdefinisi untuk $x \leq 0$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sketsakan grafik $y = \log_2 x$ dan tentukan: (a) titik potong sumbu-x, (b) nilai $y$ saat $x = 8$ , (c) perilaku kurva saat $x \to 0^+$ .

Kurva memotong sumbu-x saat $y = 0$ , yaitu $\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1$ . Jadi titik potong sumbu-x adalah $(1, 0)$ .

$y = \log_2 8$ . Karena $2^3 = 8$ , maka $\log_2 8 = 3$ . Jadi titiknya $(8, 3)$ — perhatikan ini adalah cermin dari $(3, 8)$ di kurva $y = 2^x$ .

Saat $x \to 0^+$ , $\log_2 x \to -\infty$ . Kurva “menyelam” ke bawah sepanjang sumbu-y tanpa menyentuhnya — sumbu-y adalah asimtot tegak $x = 0$ .

Jebakan: tertukar asimtot — mengira log punya asimtot datar $y = 0$ . Yang benar: log punya asimtot tegak $x = 0$ ; asimtot datar $y = 0$ adalah milik eksponen (cerminnya).

Jebakan: mengevaluasi log untuk $x \leq 0$ (mis. $\log_2 (-4)$ atau $\log_2 0$ ). Yang benar: logaritma hanya terdefinisi untuk numerus positif ( $x > 0$ ); $\log_b 0$ dan $\log_b$ (negatif) tak terdefinisi.

Jebakan: mengira makin besar basis makin curam. Yang benar: makin besar basis, kurva log makin landai (mis. $\log_{10}$ lebih landai daripada $\log_2$ ) — basis besar memampatkan sumbu-x.

Log $y = \log_b x$ adalah invers (cermin $y = x$ ) dari eksponen $y = b^x$ .
Titik kunci cermin: eksponen $(0,1)$ $\leftrightarrow$ log $(1,0)$ ; eksponen $(1,b)$ $\leftrightarrow$ log $(b,1)$ .
Asimtot log tegak $x = 0$ (sumbu-y); domain hanya $x > 0$ .
Makin besar basis $b$ , kurva makin landai (menekan sumbu-x).
Sifat baca-grafik: $\log_b 1 = 0$ , $\log_b b = 1$ , $\log_b b^k = k$ .

Logaritma sebagai invers eksponen

Hubungan geometris cermin y=xy = xy=x

Peran basis bbb: landai atau curam

Asimtot tegak x=0x = 0x=0

Berlatih membaca grafik log

Hubungan geometris cermin $y = x$

Peran basis $b$ : landai atau curam

Asimtot tegak $x = 0$