Menghitung Rumus Komposisi (g∘f)(x)

Setelah ini kamu bisa menentukan rumus $(g \circ f)(x)$ dengan substitusi dan mengevaluasi komposisi fungsi pada sebuah titik.

Tadi kamu menyambung dua mesin dan melihat angka mengalir dari $f$ ke $g$ . Sekarang tantangannya naik satu tingkat: bukan cuma menghitung satu angka, tapi mencari rumus hasilnya — sebuah mesin baru yang melakukan kedua langkah sekaligus. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $x$ dan perhatikan kurva hasil $(g \circ f)(x)$ menimpa rumus substitusi.

Mengganti setiap $x$ dengan $f(x)$

Mencari rumus $(g \circ f)(x)$ pada dasarnya adalah substitusi. Kamu menulis ulang rumus $g(x)$ , lalu mengganti setiap kemunculan $x$ di dalamnya dengan rumus $f(x)$ secara utuh — termasuk tanda kurungnya. Hasilnya adalah rumus satu mesin baru.

Misalnya $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2$ . Tulis $g(x) = (\ldots)^2$ , lalu isi bagian kosong dengan $f(x)$ : $g(f(x)) = (2x + 1)^2$ . Selesai. Itulah rumus komposisi yang menggabungkan kedua mesin.

Rumus komposisi $(g \circ f)(x)$ diperoleh dengan mengganti setiap $x$ pada rumus $g(x)$ dengan rumus $f(x)$ secara utuh: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Kunci agar tidak salah: bungkus $f(x)$ dengan tanda kurung sebelum mengganti. Tanpa kurung, tanda minus atau pangkat bisa menempel pada suku yang salah.

Menyederhanakan hasil substitusi

Setelah substitusi, sering muncul bentuk yang bisa disederhanakan. Dari $(2x + 1)^2$ , perluas dengan rumus kuadrat: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ . Kedua bentuk — sebelum dan sesudah disederhanakan — menggambarkan kurva yang persis sama.

$(g \circ f)(x) = (f(x))^2 \;\Longrightarrow\; (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Arti tiap simbol: $g$ = fungsi luar $g(x) = x^2$ , $f(x) = 2x+1$ = fungsi dalam yang disubstitusi, $x$ = variabel bebas.

Apakah $(g \circ f)(x)$ sama dengan $(f \circ g)(x)$ sebagai rumus? Coba hitung $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$ . Bandingkan dengan $4x^2 + 4x + 1$ — berbeda rumus, berbeda kurva. Ini sekali lagi menegaskan: urutan mesin menentukan rumus hasil.

Geser slider di bawah dan saksikan dua kurva hasil komposisi berbeda bentuk secara nyata.

Pikirkan substitusi seperti menyisipkan filter lensa: lensa dalam (fungsi $f$ ) mengubah cahaya dulu, lalu lensa luar (fungsi $g$ ) mengubah hasilnya. Urutan lensa menentukan warna akhir yang kamu lihat.

Domain komposisi: hasil harus terdefinisi

Rumus komposisi hanya berlaku pada $x$ yang membuat kedua mesin bekerja. Domain $(g \circ f)(x)$ adalah bagian dari domain $f$ yang keluarannya masih berada di domain $g$ . Kalau ada $x$ yang membuat $f(x)$ tak terdefinisi, atau membuat $g(f(x))$ tak terdefinisi, maka $x$ itu bukan anggota domain komposisi.

Contoh: $f(x) = \sqrt{x}$ hanya terdefinisi untuk $x \geq 0$ . Apapun $g$ -nya, komposisi $(g \circ f)(x)$ otomatis hanya berlaku untuk $x \geq 0$ . Inilah mengapa sebelum menyederhanakan, kamu harus waspada terhadap domain asli.

Geser slider di bawah dan perhatikan kurva $(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x})$ hanya muncul di sebelah kanan $x = 0$ — di kiri, mesin $f$ mogok.

Soal TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif kerap memberi dua rumus fungsi lalu meminta $(g \circ f)(x)$ dalam bentuk sederhana, atau menanyakan nilai $(g \circ f)(a)$ . Strategi: (1) substitusi $f(x)$ ke $g(x)$ dengan kurung penuh, (2) sederhanakan, (3) baru substitusi angka. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan komposisi dan invers fungsi sebagai cakupan resmi elemen aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $f(x) = x + 3$ dan $g(x) = 2x - 5$ . Tentukan rumus $(g \circ f)(x)$ dalam bentuk sederhana, lalu hitung $(g \circ f)(2)$ .

Tulis $g(\ldots) = 2(\ldots) - 5$ , lalu isi bagian kosong dengan $f(x) = x + 3$ : $(g \circ f)(x) = 2(x + 3) - 5$ .

Sebarkan: $2(x + 3) - 5 = 2x + 6 - 5 = 2x + 1$ . Jadi rumus sederhananya $(g \circ f)(x) = 2x + 1$ .

Substitusi $x = 2$ ke rumus hasil: $(g \circ f)(2) = 2(2) + 1 = 5$ . (Cek langsung: $f(2) = 5$ , lalu $g(5) = 5$ . Sesuai.)

Periksa jawabanmu pada grafik: geser slider ke titik yang dimaksud, hasil pada kurva $(g \circ f)(x)$ harus cocok.

Latih kecepatan substitusi dengan angka acak di bawah — kerjakan di kertas, baru periksa.

Jebakan: menulis $(g \circ f)(x) = g(x) \cdot f(x)$ atau menjumlahkan keduanya. Yang benar: komposisi bukan perkalian atau penjumlahan — keluaran $f(x)$ menggantikan setiap $x$ pada $g(x)$ .

Jebakan: mengabaikan tanda kurung saat substitusi sehingga $(2x+1)^2$ ditulis $2x + 1^2$ . Yang benar: seluruh $f(x)$ harus berada di dalam kurung sebelum dipangkatkan; $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ .

Rumus $(g \circ f)(x)$ dicari dengan substitusi: ganti setiap $x$ pada $g(x)$ dengan $f(x)$ .
Bungkus $f(x)$ dalam tanda kurung sebelum menyederhanakan agar tidak salah tanda.
Urutan menentukan rumus: $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$ pada umumnya.
Domain komposisi ikut fungsi dalam: $x$ harus membuat kedua mesin terdefinisi.
Untuk evaluasi titik, kerjakan $f(a)$ dulu, lalu masukkan hasilnya ke $g$ .

Mengganti setiap xxx dengan f(x)f(x)f(x)

Menyederhanakan hasil substitusi

Domain komposisi: hasil harus terdefinisi

Mengganti setiap $x$ dengan $f(x)$