Komposisi: Menyambung Dua Mesin Fungsi — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjelaskan komposisi $(g \circ f)(x)$ sebagai hasil keluaran $f$ yang menjadi masukan $g$ , dan memeriksa apakah urutan mesin berpengaruh.

Pabrik makanan punya dua mesin berurutan: mesin pertama mengupas, mesin kedua memotong. Buah masuk ke mesin pertama, hasilnya masuk ke mesin kedua, baru keluar potongan siap saji. Komposisi fungsi bekerja persis seperti itu — dua mesin matematika yang kamu sambung. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $x$ dan ikuti angkanya melewati $f$ dulu, lalu $g$ .

Dua mesin yang tersambung

Satu fungsi sudah kamu kenal sebagai mesin input-output: masuk angka, keluar angka. Sekarang bayangkan kamu punya dua mesin, dan kamu menyalurkan selang keluaran mesin pertama ke corong masukan mesin kedua. Itulah komposisi fungsi.

Tulis fungsinya $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2$ . Kalau kamu masukkan $x = 2$ ke $f$ , keluar $f(2) = 5$ . Angka $5$ inilah yang langsung masuk ke $g$ , sehingga $g(5) = 25$ . Satu jalur, dua mesin.

Komposisi fungsi $(g \circ f)(x)$ berarti keluaran $f(x)$ dipakai sebagai masukan $g$ : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Fungsi $f$ dikerjakan lebih dulu, lalu $g$ .

Notasi bundaran $\circ$ dibaca “komposisi”, dan urutannya dibaca dari kanan ke kiri: yang paling kanan dikerjakan paling awal. Jadi $g \circ f$ berarti $f$ dulu, baru $g$ .

Apakah urutan mesin berpengaruh?

Pertanyaan kunci komposisi: kalau kamu tukar urutan mesin, apakah hasilnya sama? Coba balik, $f \circ g$ : sekarang $g$ dikerjakan dulu. Masukkan $x = 2$ ke $g$ menghasilkan $4$ , lalu $f(4) = 9$ . Bandingkan dengan $(g \circ f)(2) = 25$ tadi — jauh berbeda.

Berpakaian urutan berpengaruh: kaus dulu baru jaket masuk akal; jaket dulu baru kaus mustahil dipakai. Komposisi fungsi sama — urutan mesin menentukan hasil, dan kebanyakan pasangan fungsi tidak komutatif.

Buktikan sendiri di bawah. Dua pasang kurva menggambarkan $g \circ f$ dan $f \circ g$ sekaligus; geser slider dan bandingkan titik hasilnya pada kedua jalur.

Jalur	Urutan mesin	Hasil untuk $x = 2$
$(g \circ f)(2)$	$f$ dulu, lalu $g$	$g(f(2)) = g(5) = 25$
$(f \circ g)(2)$	$g$ dulu, lalu $f$	$f(g(2)) = f(4) = 9$
Selisih	urutan ditukar	$25 \neq 9$

Mengikuti alur nilai langkah demi langkah

Cara paling jelas memahami komposisi adalah mengikuti satu nilai melewati tiap mesin. Anggap $f(x) = x + 3$ dan $g(x) = 2x$ . Untuk $(g \circ f)(x)$ , mulai dari input, lewati $f$ , lalu $g$ .

Tiga titik di bawah menandai tiga posisi nilai yang sama: input mentah $x$ , hasil setelah $f$ , dan hasil akhir setelah $g$ . Geser slider dan saksikan angka berpindah dari satu titik ke titik berikutnya.

Komposisi dengan fungsi identitas

Ada satu mesin istimewa yang tidak mengubah apa pun: fungsi identitas $I(x) = x$ . Apa pun yang masuk, keluar sama. Komposisi dengan fungsi identitas punya sifat khusus: $(g \circ I)(x) = g(x)$ dan $(I \circ g)(x) = g(x)$ .

$(g \circ I)(x) = g(I(x)) = g(x)$

Arti tiap simbol: $g$ = fungsi luar, $I$ = fungsi identitas $I(x) = x$ , $x$ = masukan bebas.

Identitas berperan seperti angka nol pada penjumlahan atau angka satu pada perkalian — tidak mengubah hasil komposisi. Inilah calon pasangan komposisi yang menghasilkan fungsi asal kembali, yang nanti kamu temui saat belajar invers.

Geser slider di bawah: kurva $g \circ I$ (aksen1) selalu menimpa kurva $g$ (netral, membeku) — komposisi dengan identitas tidak mengubah apa pun.

Soal TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif kerap menyodorkan dua fungsi dan menanyakan nilai $(g \circ f)(a)$ untuk sebuah $a$ . Triknya: kerjakan $f(a)$ dulu sampai ketemu satu angka, baru masukkan angka itu ke $g$ . Jangan mencoba menyusun rumus besar dulu — kerja bertahap lebih aman. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan komposisi dan invers fungsi sebagai cakupan resmi elemen aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $f(x) = 3x - 2$ dan $g(x) = x + 5$ . Hitunglah $(g \circ f)(4)$ dan $(f \circ g)(4)$ , lalu bandingkan apakah keduanya sama.

$(g \circ f)(4)$ berarti $f$ dulu. Hitung $f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$ .

Sekarang angka $10$ menjadi masukan $g$ : $g(10) = 10 + 5 = 15$ . Jadi $(g \circ f)(4) = 15$ .

Untuk $(f \circ g)(4)$ , kerjakan $g$ dulu: $g(4) = 4 + 5 = 9$ . Lalu $f(9) = 3(9) - 2 = 27 - 2 = 25$ . Bandingkan: $(g \circ f)(4) = 15$ tetapi $(f \circ g)(4) = 25$ — urutan mesin berpengaruh.

Latih kecepatanmu menghitung komposisi dengan angka acak di bawah — kerjakan di kertas, baru periksa.

Jebakan: membaca $(g \circ f)(x)$ dan menyimpulkan $g$ dikerjakan dulu karena tertulis lebih kiri. Yang benar: komposisi dibaca dari kanan ke kiri — $f(x)$ dikerjakan lebih dulu, hasilnya baru masuk ke $g$ .

Jebakan: menganggap $(g \circ f)(x)$ selalu sama dengan $(f \circ g)(x)$ . Yang benar: komposisi fungsi umumnya tidak komutatif — menukar urutan mesin hampir selalu mengubah hasil.

Komposisi $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : keluaran $f$ jadi masukan $g$ .
Notasi dibaca kanan-ke-kiri — fungsi terdekat $x$ dikerjakan lebih dulu.
Urutan mesin berpengaruh; umumnya $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$ .
Kerjakan bertahap: hitung $f(a)$ sampai dapat satu angka, lalu masukkan ke $g$ .
Fungsi identitas $I(x) = x$ tidak mengubah hasil komposisi.