Dekomposisi: Membongkar Fungsi Rumit — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membongkar fungsi rumit $h(x)$ menjadi rangkaian dua fungsi sederhana $f(x)$ dan $g(x)$ sehingga $h(x) = g(f(x))$ .

Bayangkan sebuah mesin hitung besar yang ternyata terdiri dari dua mesin kecil yang disusun berurutan: angka masuk dulu ke mesin pertama, lalu hasilnya masuk ke mesin kedua. Membongkar fungsi rumit menjadi dua mesin sederhana inilah yang disebut dekomposisi. Kelak saat kamu menurunkan fungsi dengan aturan rantai atau mengintegralkan bentuk kompleks, kemampuan membongkar ini jadi modal utama. Coba lihat sendiri dua kotak fungsi di bawah.

Coba seret titik sudut pada diagram rantai di bawah, dan perhatikan dua kotak fungsi yang berurutan.

Membaca fungsi rumit sebagai komposisi

Dekomposisi adalah kebalikan dari menyusun rumus komposisi. Kamu diberi sebuah fungsi rumit $h(x)$ , dan tugasnya mencari dua fungsi sederhana $f$ dan $g$ sehingga $h(x) = g(f(x))$ . Triknya: cari operasi terakhir yang dikerjakan — itulah fungsi luar $g$ — sisanya yang dikerjakan sebelumnya adalah fungsi dalam $f$ .

Dekomposisi fungsi berarti menulis $h(x)$ sebagai komposisi $g(f(x))$ , dengan $f$ = fungsi dalam (dikerjakan lebih dulu) dan $g$ = fungsi luar (dikerjakan terakhir pada hasil $f$ ).

Contoh: $h(x) = (2x+3)^2$ . Operasi terakhir yang dikerjakan adalah menguadratkan, jadi $g(u) = u^2$ . Sisanya yang dikuadratkan adalah $2x+3$ , jadi $f(x) = 2x+3$ . Maka $h(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 = (2x+3)^2$ — cocok.

Bukti: h(x) menumpuk g(f(x))

Bagaimana memastikan bongkahanmu benar? Hitung ulang $g(f(x))$ dengan substitusi: ganti $u$ pada $g$ dengan $f(x)$ . Bila hasilnya persis $h(x)$ , bongkahan benar. Cara paling meyakinkan adalah membandingkan kurva: kurva $h(x)$ dan kurva $g(f(x))$ harus menumpuk sempurna.

$h(x) = g(f(x)) \;\;\text{dengan}\;\; f(x)=2x+3,\; g(u)=u^2$

Arti tiap simbol: $h$ = fungsi asli $(2x+3)^2$ ; $f$ = fungsi dalam $2x+3$ (dikerjakan dulu); $g$ = fungsi luar $u^2$ (menguadratkan hasil $f$ ). Substitusi $g(f) = (2x+3)^2 = h$ .

Pada plot di bawah, kurva $h(x) = (2x+3)^2$ dan kurva $g(f(x)) = (2x+3)^2$ saling menumpuk — bukti visual bahwa bongkahan $f=2x+3$ , $g=u^2$ benar.

Bongkahan tak unik: dua cara berbeda, kurva sama

Yang menarik, dekomposisi sering tidak unik. Untuk $h(x) = (2x+3)^2$ , bongkahan alaminya $f=2x+3$ , $g=u^2$ . Tapi kita bisa membongkar dengan memecah lebih dalam: misalnya $f(x) = x+1{,}5$ (bagian dari $2x+3$ ) — tidak, itu tidak menghasilkan rumus tepat. Yang lebih jujur: bila $h(x) = (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$ , kamu bisa membongkar $h(x) = g(f(x))$ dengan $f(x)=x^2+3x$ dan $g(u)=4u+9$ — sebuah bongkahan yang berbeda tetapi menghasilkan kurva yang sama persis.

Pada plot di bawah, kurva bongkahan kedua $g(f(x)) = 4(x^2+3x)+9 = 4x^2+12x+9$ dan kurva asli $h(x) = (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9$ menumpuk — dua bongkahan berbeda menghasilkan fungsi yang sama.

Menguji bongkahan yang salah

Bila kamu keliru menentukan fungsi luar, kurva hasil $g(f(x))$ tidak akan menumpuk $h(x)$ . Misalnya untuk $h(x)=(2x+3)^2$ , bila kamu keliru mengambil $g(u)=u$ (bukan $u^2$ ), maka $g(f(x)) = 2x+3$ — bukan kurva $h$ . Pada plot di bawah, kurva bongkahan salah $2x+3$ jauh berbeda dari kurva $h(x)$ , memberi sinyal bahwa bongkahan itu keliru.

Pikirkan dekomposisi seperti membongkar mainan bersusun: ada lapisan luar (cangkang) yang kalau dibuka menampakkan bagian dalam. Operasi terakhir yang kamu lakukan pada $x$ adalah cangkang luarnya — itulah $g$ . Lapisan yang dibalut cangkang itu adalah $f$ . Kadang ada beberapa cara membuka mainan yang sama; itulah mengapa dekomposisi tak unik.

Soal UTBK Pengetahuan Kuantitatif kerap menyodorkan bentuk seperti $\sqrt{x^2+1}$ atau $(3x-2)^5$ dan memintamu mengenali fungsi dalam dan luar untuk menyiapkan operasi lanjut (substitusi, aturan rantai). Strategi: tanyakan “operasi terakhir apa yang dikerjakan?” — itulah $g$ ; sisanya adalah $f$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Bongkarlah $h(x) = \sqrt{x^2+1}$ menjadi komposisi $g(f(x))$ .

Operasi terakhir pada $h$ adalah mengakarkan (tanda akar menyangkut seluruh $x^2+1$ ). Jadi fungsi luar $g(u) = \sqrt{u}$ .

Yang berada di dalam akar adalah $x^2+1$ , jadi fungsi dalam $f(x) = x^2+1$ .

$g(f(x)) = \sqrt{f(x)} = \sqrt{x^2+1} = h(x)$ . Cocok. Jawaban: $f(x)=x^2+1$ , $g(u)=\sqrt{u}$ .

Latih kecepatan membongkar fungsi kuadrat berpangkat dengan koefisien acak di bawah.

Jebakan: mengambil fungsi luar dari operasi yang dikerjakan pertama, padahal seharusnya operasi terakhir. Yang benar: fungsi luar $g$ adalah operasi yang dikerjakan paling akhir pada $x$ — misal pada $(2x+3)^2$ , luar adalah menguadratkan ( $g=u^2$ ), dalam adalah $2x+3$ .

Jebakan: mengira dekomposisi hanya punya satu jawaban benar. Yang benar: dekomposisi sering tak unik — beberapa pasangan $f$ dan $g$ yang berbeda bisa menghasilkan $h(x)$ yang sama, asalkan $g(f(x)) = h(x)$ terpenuhi.

Dekomposisi: tulis $h(x) = g(f(x))$ , dengan $g$ = operasi terakhir, $f$ = sisanya.
Uji kebenaran: substitusi $g(f(x))$ harus persis sama dengan $h(x)$ .
Dekomposisi sering tak unik — beberapa bongkahan bisa menghasilkan kurva yang sama.
Fungsi dalam $f$ dikerjakan duluan; fungsi luar $g$ dikerjakan terakhir.