Langsung ke isi
Lyra
Matematika · Kelas 11–12 · Fase F · 8 menit baca TKAUTBK

Menentukan Rumus Invers secara Aljabar

Setelah ini kamu bisa menentukan rumus invers f−1(x)f^{-1}(x) untuk fungsi linear dan rasional sederhana secara aljabar.

Di artikel sebelumnya kamu belajar kapan sebuah fungsi punya invers. Sekarang pertanyaannya berubah: kalau inversnya ada, bagaimana cara menemukan rumusnya? Sebuah fungsi linear seperti f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 menyembunyikan mesin mundur di dalamnya — tugasmu membongkar mesin itu langkah demi langkah sampai rumus f−1f^{-1} muncul. Triknya hanya dua gerakan kecil. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider mm dan bb, lalu amati kurva f−1f^{-1} muncul sebagai cermin ff pada garis y=xy=x.

Strategi dua gerakan: tukar lalu isolasi

Cara paling andal menemukan rumus invers adalah dua gerakan mekanis. Pertama, tulis y=f(x)y = f(x) lalu tukar peran xx dan yy — mengganti masukan dengan keluaran, persis seperti membalik arah mesin. Kedua, isolasi yy di ruas kiri sampai tersisa sendirian. Hasil isolasi itulah f−1(x)f^{-1}(x).

Tukar-isolasi adalah teknik menentukan invers: ganti y=f(x)y=f(x) menjadi x=f(y)x=f(y), lalu selesaikan persamaan sampai y=…y = \ldots Terbentuklah y=f−1(x)y = f^{-1}(x).

Intuisinya sederhana. Karena ff memasangkan masukan aa ke keluaran bb, invers harus menerima bb dan mengembalikan aa. Maka di rumus invers, xx (masukan) berperan sebagai bekas-keluaran bb, dan yy (keluaran) sebagai bekas-masukan aa. Menukar x↔yx \leftrightarrow y justru menyalakan pemetaan terbalik ini.

Menerapkan pada fungsi linear

Ambil f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Langkah pertama, tulis y=2x+3y = 2x + 3 lalu tukar menjadi x=2y+3x = 2y + 3. Langkah kedua, isolasi yy: kurangi 3 ruas kiri-kanan agar x−3=2yx - 3 = 2y, lalu bagi 2 sehingga y=(x−3)/2y = (x - 3)/2. Selesai — inilah f−1(x)=(x−3)/2f^{-1}(x) = (x - 3)/2.

f(x)=ax+b  ⇒  f−1(x)=x−baf(x) = ax + b \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}

Arti tiap simbol: aa gradien (balikan perkalian menjadi pembagian), bb intersep (balikan penambahan menjadi pengurangan), urutan operasi dibalik.

Hal penting: urutan operasi terbalik. Kalau ff mengalikan dulu lalu menambah, maka f−1f^{-1} mengurangi dulu lalu membagi. Itulah mengapa “mesin mundur” adalah intuisi terbaik — operasi terakhir di ff menjadi operasi pertama yang dibatalkan di f−1f^{-1}.

Verifikasi via cermin y=xy = x

Setelah rumus f−1f^{-1} ditemukan, kamu bisa memeriksa kebenarannya secara geometris. Kurva f−1f^{-1} harus menjadi pencerminan kurva ff pada garis y=xy = x: setiap titik (a,b)(a, b) pada ff berubah jadi (b,a)(b, a) pada f−1f^{-1}. Bila kedua kurva tidak saling memantul, berarti ada kesalahan aljabar.

Pada plot di bawah, slider xx menggerakkan satu titik pada kurva f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 (aksen1). Titik cerminnya pada f−1f^{-1} (aksen2) muncul serentak di koordinat tertukar — itulah inti geometris dari tukar-x-y yang baru saja kamu lakukan secara aljabar.

Invers fungsi rasional sederhana

Teknik tukar-isolasi berlaku juga untuk fungsi pecahan linear seperti f(x)=(2x+1)/(x−3)f(x) = (2x + 1)/(x - 3). Tulis y=(2y+1)/(y−3)y = (2y + 1)/(y - 3) setelah ditukar, lalu kalikan silang: x(y−3)=2y+1x(y - 3) = 2y + 1. Kumpulkan suku ber-yy: xy−3x=2y+1xy - 3x = 2y + 1, pindahkan xy−2y=3x+1xy - 2y = 3x + 1, faktorkan y(x−2)=3x+1y(x - 2) = 3x + 1, akhirnya y=(3x+1)/(x−2)y = (3x + 1)/(x - 2). Inilah f−1(x)f^{-1}(x).

Langkah “kumpulkan suku ber-yy” adalah jebakan utama: banyak yang asal membalik pecahan tanpa mengisolasi yy terlebih dahulu. Ingat, invers bukan kebalikan perkalian — kamu harus menyelesaikan persamaan hingga yy berdiri sendiri.

Pada plot di bawah, kurva rasional f(x)=(2x+1)/(x−3)f(x) = (2x + 1)/(x - 3) (aksen1) dan inversnya f−1(x)=(3x+1)/(x−2)f^{-1}(x) = (3x + 1)/(x - 2) (aksen2) saling memantul pada y=xy = x. Perhatikan bahwa keduanya punya asimtot tegak dan datar yang saling bertukar peran — itulah ciri khas invers fungsi rasional.

Soal TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif sering menyajikan fungsi linear atau pecahan sederhana lalu menanyakan nilai f−1f^{-1} di suatu titik, atau meminta rumus inversnya. Triknya: cukup lakukan tukar-x-y dan isolasi — tidak perlu menghafal rumus. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan komposisi dan invers fungsi sebagai cakupan resmi elemen aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan rumus invers dari f(x)=2x+53f(x) = \dfrac{2x + 5}{3}.

Tulis y=(2x+5)/3y = (2x + 5)/3, lalu tukar peran menjadi x=(2y+5)/3x = (2y + 5)/3.

Kalikan kedua ruas dengan 3: 3x=2y+53x = 2y + 5. Kurangi 5: 3x−5=2y3x - 5 = 2y. Bagi 2: y=(3x−5)/2y = (3x - 5)/2.

Jadi f−1(x)=3x−52f^{-1}(x) = \dfrac{3x - 5}{2}. Cek: substitusi x=1x = 1 ke ff memberi f(1)=7/3f(1) = 7/3; substitusi 7/37/3 ke f−1f^{-1} harus kembali ke 11.

Latih kecepatan menemukan invers fungsi pecahan linear dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menyamakan invers fungsi f−1(x)f^{-1}(x) dengan kebalikan perkalian 1f(x)\dfrac{1}{f(x)}. Yang benar: f−1(x)f^{-1}(x) adalah pembalik pemetaan yang dicari lewat tukar-x-y dan isolasi, bukan kebalikan perkalian.

Jebakan: pada f(x)=2x+53f(x) = \dfrac{2x + 5}{3}, langsung menulis f−1(x)=32x+5f^{-1}(x) = \dfrac{3}{2x + 5} dengan membalik pecahan. Yang benar: tukar menjadi x=2y+53x = \dfrac{2y + 5}{3}, lalu isolasi yy hingga y=3x−52y = \dfrac{3x - 5}{2}.

  • Rumus invers dicari lewat teknik tukar-isolasi: y=f(x)→x=f(y)→y=f−1(x)y = f(x) \to x = f(y) \to y = f^{-1}(x).
  • Pada fungsi linear f(x)=ax+bf(x) = ax + b, inversnya f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}.
  • Urutan operasi dibalik: operasi terakhir di ff menjadi yang pertama dibatalkan di f−1f^{-1}.
  • Invers fungsi rasional perlu mengumpulkan suku ber-yy sebelum mengisolasi.
  • Kurva f−1f^{-1} adalah pencerminan kurva ff pada garis y=xy = x.