Langsung ke isi
Lyra
Matematika · Kelas 11–12 · Fase F · 8 menit baca TKAUTBK

Invers: Mesin Fungsi yang Berjalan Mundur

Setelah ini kamu bisa menjelaskan invers f−1f^{-1} sebagai pembalik pemetaan ff, syarat fungsi satu-ke-satu, dan hubungan cermin dengan garis y=xy=x.

Sebuah mesin fungsi mengubah input jadi output. Tapi bisakah kamu menjalankan mesin itu mundur — memberi output, lalu menanyakan input apa yang menghasilkannya? Itulah invers. Kadang mesin mundur berjalan mulus, kadang ia bingung karena beberapa input berbeda ternyata memberi output yang sama. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider xx dan saksikan titik pada ff memantul ke f−1f^{-1} melewati garis y=xy=x.

Mesin mundur: membalik pemetaan

Fungsi ff memasangkan tiap input ke satu output. Invers f−1f^{-1} melakukan kebalikannya: ia menerima output ff, lalu mengembalikan input semula. Kalau f(2)=5f(2) = 5, maka f−1(5)=2f^{-1}(5) = 2. Satu jalan maju, satu jalan mundur.

Notasi f−1f^{-1} bukan berarti “satu per ff” — tanda minus satu di sini adalah penanda invers, bukan pangkat negatif. Banyak yang tertukar di sini, jadi hati-hati.

Invers fungsi f−1f^{-1} membalikkan pemetaan ff: jika f(a)=bf(a) = b, maka f−1(b)=af^{-1}(b) = a. Secara komposisi, (f−1∘f)(x)=x(f^{-1} \circ f)(x) = x dan (f∘f−1)(x)=x(f \circ f^{-1})(x) = x.

Cara paling cepat merasakan invers: ambil sebuah angka, jalankan ff untuk dapat output, lalu jalankan f−1f^{-1} pada output itu — kamu harus kembali ke angka awal. Inilah hubungan timbal-balik dengan komposisi yang sudah kamu pelajari.

Cermin geometris: pantulan pada y=xy=x

Secara grafik, kurva f−1f^{-1} adalah pantulan kurva ff pada garis y=xy = x. Mengapa? Karena invers menukar peran xx dan yy: titik (a,b)(a, b) pada ff menjadi titik (b,a)(b, a) pada f−1f^{-1}, dan pencerminan titik pada garis y=xy = x memang menukar kedua koordinatnya.

Jika (a,b)∈f, maka (b,a)∈f−1\text{Jika } (a, b) \in f, \text{ maka } (b, a) \in f^{-1}

Arti tiap simbol: aa = masukan ff sekaligus keluaran f−1f^{-1}, bb = keluaran ff sekaligus masukan f−1f^{-1}, garis y=xy = x = cermin pencerminan.

Pada plot di bawah, dua kurva linear ff (aksen1) dan f−1f^{-1} (aksen2) saling memantul. Geser slider dan perhatikan: satu titik pada ff menghasilkan satu titik pada f−1f^{-1} yang posisinya persis berkoordinat tertukar.

Syarat invers: fungsi harus satu-ke-satu

Tidak semua fungsi punya invers. Syaratnya: ff harus satu-ke-satu (injektif) — tiap output hanya berasal dari satu input. Kalau ada dua input berbeda yang memberi output sama, mesin mundur bingung: output itu harus dikembalikan ke input yang mana?

Alat untuk menguji secara grafik adalah uji garis datar: tarik garis horizontal y=cy = c sejajar sumbu-xx. Kalau garis itu memotong kurva ff di lebih dari satu titik, berarti ada beberapa input dengan output yang sama — ff tidak satu-ke-satu, dan inversnya tidak ada.

Bayangkan mesin penjual otomatis yang memberi minuman yang sama untuk dua tombol berbeda. Kalau kamu hanya tahu minuman yang keluar, kamu tidak bisa tahu tombol mana yang ditekan. Invers butuh satu minuman untuk satu tombol — itulah inti syarat satu-ke-satu.

Geser slider cc di bawah: garis datar y=cy = c memotong parabola f(x)=x2f(x) = x^2 di dua titik saat c>0c > 0 — tanda parabola penuh tidak punya invers.

Kondisi garis datarBanyak titik potong dengan ffStatus invers
Tiap garis y=cy = c paling banyak 1 titik0 atau 1Invers ada (satu-ke-satu)
Ada garis y=cy = c menyinggung 2+ titik2 atau lebihInvers tak ada penuh

Memperbaiki dengan memotong domain

Parabola f(x)=x2f(x) = x^2 gagal uji garis datar karena kedua sisinya simetris. Tapi kalau kamu memotong domainnya — misalnya hanya ambil x≥0x \geq 0 — parabola tinggal setengah, dan tiap output hanya berasal dari satu input. Sekarang inversnya ada: f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}.

Inilah trik umum: bila fungsi gagal uji garis datar, batasi domain agar ia menjadi satu-ke-satu. Fungsi kuadrat, trigonometri, dan banyak fungsi lain sering diberi batasan domain justru agar inversnya ada.

Pada plot di bawah, hanya parabola f(x)=x2f(x) = x^2 untuk x≥0x \geq 0 yang digambar (setengah kanan), berpasangan dengan f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x}. Keduanya saling memantul pada y=xy = x — invers kini sah.

Soal TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif sering menanyakan apakah sebuah fungsi punya invers, atau meminta kamu memilih batasan domain agar inversnya ada. Triknya: gunakan uji garis datar secara mental — bayangkan garis horizontal melintasi kurva. Kalau bisa menyentuh dua titik, batasi domainnya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan komposisi dan invers fungsi sebagai cakupan resmi elemen aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tunjukkan bahwa f(x)=2x+6f(x) = 2x + 6 memiliki invers, lalu tentukan f−1(10)f^{-1}(10).

f(x)=2x+6f(x) = 2x + 6 adalah fungsi linear yang selalu naik, jadi tiap output hanya berasal dari satu input. Lewati uji garis datar — inversnya ada.

Cari xx sehingga f(x)=10f(x) = 10: 2x+6=102x + 6 = 10, maka 2x=42x = 4, sehingga x=2x = 2. Jadi f−1(10)=2f^{-1}(10) = 2.

Pola umum untuk f(x)=ax+bf(x) = ax + b adalah f−1(x)=(x−b)/af^{-1}(x) = (x - b)/a. Maka f−1(x)=(x−6)/2f^{-1}(x) = (x - 6)/2. Cek: f−1(10)=(10−6)/2=2f^{-1}(10) = (10 - 6)/2 = 2. Sesuai langkah sebelumnya.

Latih kecepatan menemukan invers fungsi linear dengan angka acak di bawah — kerjakan di kertas, baru periksa.

Jebakan: mengira f−1(x)f^{-1}(x) berarti 1/f(x)1/f(x). Yang benar: tanda minus satu pada f−1f^{-1} adalah penanda invers (pembalik fungsi), bukan pangkat negatif. Kebalikan perkalian ditulis (f(x))−1(f(x))^{-1} atau 1/f(x)1/f(x).

Jebakan: menyatakan bahwa f(x)=x2f(x) = x^2 pasti punya invers. Yang benar: pada seluruh bilangan real parabola gagal uji garis datar, jadi tidak punya invers penuh — domainnya harus dipotong (misal x≥0x \geq 0) agar inversnya ada.

  • Invers f−1f^{-1} membalik pemetaan ff: jika f(a)=bf(a)=b maka f−1(b)=af^{-1}(b)=a.
  • Komposisinya bersifat (f−1∘f)(x)=x(f^{-1} \circ f)(x) = x dan (f∘f−1)(x)=x(f \circ f^{-1})(x) = x.
  • Kurva f−1f^{-1} adalah pencerminan kurva ff pada garis y=xy = x.
  • Syarat invers: ff harus satu-ke-satu, diuji lewat uji garis datar.
  • Fungsi yang gagal bisa diberi batasan domain agar menjadi satu-ke-satu.