Pertumbuhan & Peluruhan: Virus, Views, dan Kafein — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa memodelkan pertumbuhan dan peluruhan eksponensial dengan rumus $y = a \cdot r^t$ dari konteks nyata.

Satu bakteri membelah jadi dua, lalu empat, lalu delapan — dalam semalam koloni penuh cawan. Sebaliknya, secangkir kopi pagi hanya menyisakan separuh kafeinnya setiap lima jam; menjelang malam hampir tak berbekas. Satu video viral menggandakan views tiap jam, sementara obat dalam darah melunturkan diri makin lama makin tipis. Semua fenomena ini, meski berlawanan arah, berbagi satu keluarga rumus. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $r$ dan amati kurva membalik arah saat $r$ melintasi angka $1$ .

Satu rumus, dua arah

Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial sebenarnya adalah satu keluarga rumus yang sama: $y = a \cdot r^t$ . Bedanya hanya pada nilai $r$ , faktor pengali per satuan waktu. Bila $r > 1$ , jumlah makin lama makin besar — itu pertumbuhan. Bila $0 < r < 1$ , jumlah makin lama makin kecil — itu peluruhan.

Faktor pengali $r$ adalah rasio jumlah pada periode berikutnya terhadap periode sekarang. $r = 2$ berarti berlipat dua tiap langkah; $r = 0,5$ berarti tinggal separuh.

Pada bakteri yang membelah dua tiap jam, $r = 2$ : tiap jam, populasi dikalikan dua. Pada kafein yang tinggal separuh tiap lima jam, $r = 0,5$ per lima jam. Variabel $t$ menghitung berapa periode sudah berlalu, dan $a$ adalah nilai awal di $t = 0$ .

Pertumbuhan: berlipat tiap langkah

Untuk pertumbuhan, $r > 1$ . Tiap kenaikan $t$ satu satuan, $y$ dikalikan $r$ . Maka $y(1) = a \cdot r$ , $y(2) = a \cdot r^2$ , dan seterusnya. Inilah yang membuat pertumbuhan eksponensial terasa “meledak”: setiap langkah menambah bukan sekadar nilai konstan, melainkan kelipatan dari nilai sebelumnya.

$y = a \cdot r^t, \quad r > 1 \Rightarrow \text{ pertumbuhan}$

Arti tiap simbol: $a$ nilai awal (di $t=0$ ), $r$ faktor pengali per periode ( $r>1$ ), $t$ banyaknya periode yang berlalu.

Geser slider $r$ di bawah dan bandingkan tiga kurva pertumbuhan: $r = 1,5$ (landai), $r = 2$ (berlipat), $r = 3$ (meledak). Makin besar $r$ , makin curam tanjakannya.

Peluruhan: tinggal pecahan tiap langkah

Untuk peluruhan, $0 < r < 1$ . Tiap kenaikan $t$ satu satuan, $y$ dikalikan bilangan kurang dari satu — sehingga makin lama makin mengecil. Kafein yang tinggal separuh tiap lima jam memiliki $r = 0,5$ ; peluruhan dengan $r = 0,8$ lebih lambat (masih menyisakan 80 persen tiap langkah).

Bayangkan peluruhan seperti memotong kue: $r = 0,5$ berarti tiap langkah kamu membuang setengah kue, menyisakan setengah. $r = 0,8$ berarti kamu hanya membuang seperlima — kue lebih lama bertahan. Makin dekat $r$ ke $1$ , makin lambat peluruhan; makin dekat $r$ ke $0$ , makin cepat hilang.

Geser slider $r$ di bawah dan amati kurva peluruhan $y = 4 \cdot r^t$ menurun makin landai saat $r$ mendekati $1$ , dan makin curam turun saat $r$ mendekati $0$ .

Menerjemahkan kata ke rumus

Kunci memodelkan adalah menerjemahkan frasa berisi kata “kali”, “lipat”, atau “separuh” menjadi nilai $r$ . “Berlipat dua tiap jam” → $r = 2$ . “Tinggal 80 persen tiap hari” → $r = 0,8$ . “Berkurang 30 persen tiap bulan” → $r = 0,7$ (karena tinggal 70 persen). Kalimat “berkurang 5 persen” sering dijebak: peluruhan 5 persen berarti $r = 0,95$ , bukan $r = 0,05$ .

Frasa konteks	Arti	Nilai $r$
“Berlipat dua tiap jam”	dikali 2	$r = 2$ (tumbuh)
“Bertambah 50 persen tiap hari”	dikali 1,5	$r = 1,5$ (tumbuh)
“Tinggal separuh tiap 5 jam”	dikali 0,5	$r = 0,5$ (lusuh)
“Berkurang 30 persen tiap bulan”	dikali 0,7	$r = 0,7$ (lusuh)

Soal UTBK Penalaran Matematika kerap menyodorkan konteks populasi, peluruhan zat, atau bunga, lalu menanyakan jumlah setelah waktu tertentu. Triknya: kenali nilai $r$ dari kata “berlipat”, “berkurang”, atau “tinggal”, lalu substitusi ke $y = a \cdot r^t$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan pemodelan eksponensial sebagai bagian elemen Aljabar dan Fungsi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sekelompok bakteri berjumlah 100 membelah diri menjadi dua kali lipat setiap jam. Berapa populasinya setelah 4 jam?

Nilai awal $a = 100$ bakteri. Frasa “membelah menjadi dua kali lipat tiap jam” berarti $r = 2$ (pertumbuhan).

Gunakan $y = a \cdot r^t = 100 \cdot 2^4$ . Hitung pangkatnya dulu: $2^4 = 16$ .

$y = 100 \cdot 16 = 1.600$ . Jadi setelah 4 jam populasinya $1.600$ bakteri.

Latih kecepatan menghitung sisa populasi dari model eksponensial dengan angka acak di bawah — kerjakan di kertas, lalu periksa.

Jebakan: membaca “berkurang 30 persen tiap jam” lalu menulis $r = 0,3$ . Yang benar: berkurang 30 persen berarti tinggal 70 persen, sehingga $r = 0,7$ . Bilangan $0,3$ justru berarti berkurang 70 persen.

Jebakan: menghitung pertumbuhan “berlipat dua selama 3 jam” sebagai $a \cdot 2 \cdot 3$ . Yang benar: faktor pengali dipangkatkan dengan waktu, jadi $a \cdot 2^3 = a \cdot 8$ , bukan dikalikan biasa.

Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial berbagi satu rumus: $y = a \cdot r^t$ .
$r > 1$ berarti pertumbuhan (berlipat tiap langkah); $0 < r < 1$ berarti peluruhan (menyusut tiap langkah).
$a$ = nilai awal di $t = 0$ ; $t$ = banyaknya periode yang berlalu.
“Berkurang 30 persen” → $r = 0,7$ (tinggal 70 persen), bukan $0,3$ .
Makin besar $r$ (tumbuh) makin curam; makin dekat $r$ ke $1$ (lusuh) makin lambat.