Skor-z & Menghitung Peluang Normal — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membakukan nilai apa pun menjadi skor-z dan menghitung peluangnya pada distribusi normal standar.

Nilai UTBK rata-rata 500 dan nilai rapor rata-rata 80 — keduanya terlihat seperti “dunia” yang berbeda. Bagaimana membandingkan dua nilai yang skalanya tidak sama? Jawabannya: ubah keduanya ke bahasa yang sama, yaitu skor-z. Skor-z menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rerata — bahasa universal yang membuat apel bisa dibandingkan dengan jeruk. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider nilai x di bawah dan perhatikan skor-z dan luas peluangnya berubah.

Apa itu skor-z

Skor-z (dibaca skor-zet) adalah jumlah simpangan baku suatu nilai dari rerata. Nilai $z = 0$ berarti tepat di rerata; $z = 1$ berarti satu simpangan baku di atas rerata; $z = -2$ berarti dua simpangan baku di bawah rerata. Skor-z menyatukan semua distribusi normal ke dalam satu bahasa: distribusi normal standar $N(0, 1)$ .

Skor-z dari nilai $x$ pada distribusi $N(\mu, \sigma)$ adalah $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Skor-z mengukur jarak nilai dari rerata dalam satuan simpangan baku. Distribusi semua skor-z adalah normal standar $N(0, 1)$ : rerata 0, simpangan baku 1.

Pada plot di atas, dua kurva ditampilkan bersama: kurva nilai (rerata $70$ , simpangan baku $10$ ) dan kurva $z$ standar. Slider nilai menggerakkan satu titik di kurva nilai; titik pasangannya di kurva $z$ otomatis berpindah ke koordinat $z = (x - 70)/10$ . Inilah inti standarisasi: satu nilai dipetakan ke posisi relatifnya terhadap rerata.

Menghitung peluang dari kurva z

Peluang bahwa nilai normal kurang dari suatu batas sama dengan luas di bawah kurva standar dari $-\infty$ sampai skor-z batas itu. Karena setiap distribusi normal bisa diubah ke standar, kamu cukup menguasai satu tabel — tabel luas kurva $z$ . Contoh: peluang nilai kurang dari rerata ditambah satu simpangan baku adalah luas dari $z = -\infty$ sampai $z = 1$ , yaitu sekitar $0{,}8413$ (84,13%).

$P(X < x) = P\!\left(Z < \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \text{luas kurva } z \text{ dari } -\infty \text{ sampai } z$

Arti tiap simbol: $X$ = variabel acak normal $N(\mu, \sigma)$ ; $Z$ = variabel acak normal standar $N(0,1)$ ; $\frac{x-\mu}{\sigma}$ = skor-z batas; luas di bawah kurva $z$ = peluang kumulatif.

Plot di bawah memperlihatkan kurva $z$ standar dengan arsiran luas dari kiri sampai nilai $z$ tertentu. Slider mengubah batas $z$ ; luas arsiran (yang langsung menjadi peluangnya) menyusut atau membesar. Tiga nilai istimewa tertera: $z = 1$ (luas 0,841), $z = -1$ (luas 0,159), $z = 0$ (luas 0,5).

Membandingkan dua distribusi lewat z

Kekuatan sesungguhnya skor-z tampak saat membandingkan nilai dari dua distribusi berbeda. Budi dapat nilai UTBK $620$ pada distribusi rerata $500$ simpangan baku $100$ ; skor-z Budi $= (620-500)/100 = 1{,}2$ . Citra dapat nilai rapor $92$ pada distribusi rerata $80$ simpangan baku $5$ ; skor-z Citra $= (92-80)/5 = 2{,}4$ . Meski nilai Citra tampak lebih rendah secara mentah, ia justru lebih luar biasa relatif kelompoknya (z lebih besar).

Plot di bawah membandingkan dua kurva sekaligus, dengan slider nilai pada distribusi pertama yang memunculkan titik pasangan di kurva kedua lewat skor-z yang sama. Inilah yang memecahkan masalah “apel vs jeruk”.

Skor-z adalah “penerjemah” antar dunia. Tanpa $z$ , nilai $620$ (UTBK) dan nilai $92$ (rapor) mustahil dibandingkan — satuan, rerata, dan sebarannya beda. Dengan $z$ , keduanya dinyatakan dalam satuan simpangan baku dari rerata masing-masing: siapa yang lebih jauh dari pusat kelompoknya, dialah yang lebih luar biasa.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Nilai ujian matematika berdistribusi normal dengan rerata $\mu = 75$ dan simpangan baku $\sigma = 5$ . Andi mendapat nilai $85$ . (a) Hitung skor-z Andi. (b) Berapa peluang seorang siswa mendapat nilai kurang dari Andi? (Asumsikan luas kurva $z$ sampai $z = 2$ adalah $0{,}9772$ .)

$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{85 - 75}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Nilai Andi berada dua simpangan baku di atas rerata.

Peluang nilai kurang dari $85$ sama dengan luas kurva $z$ standar dari $-\infty$ sampai $z = 2$ . Dari tabel, luas ini $= 0{,}9772$ .

Jadi peluang seorang siswa mendapat nilai kurang dari $85$ adalah $0{,}9772$ atau sekitar $97{,}72\%$ . Artinya nilai Andi termasuk sangat tinggi — hanya sekitar $2{,}28\%$ siswa yang mendapat nilai sama atau lebih tinggi.

Latih kecepatan menghitung skor-z dari angka acak di bawah.

Jebakan: membandingkan nilai mentah dari dua distribusi berbeda dan menyimpulkan yang lebih besar lebih baik. Yang benar: ubah dulu ke skor-z. Nilai 92 di kelompok rerata 80 simpangan baku 5 (z = 2,4) lebih luar biasa daripada nilai 620 di kelompok rerata 500 simpangan baku 100 (z = 1,2) — meski 92 terlihat lebih kecil.

Jebakan: lupa membagi dengan simpangan baku sehingga skor-z salah satuan. Yang benar: skor-z selalu $\frac{x - \mu}{\sigma}$ , bukan $x - \mu$ saja. Selalu ada pembagi simpangan baku — itulah yang membuat skor-z berupa “jumlah simpangan baku”, bukan selisih mentah.

Skor-z $= \frac{x - \mu}{\sigma}$ = jumlah simpangan baku nilai dari rerata.
Standarisasi memetakan $N(\mu,\sigma)$ ke $N(0,1)$ .
Peluang $P(X < x) = P(Z < z)$ = luas kurva $z$ dari $-\infty$ sampai $z$ .
$z = 0$ = di rerata; $z > 0$ = di atas rerata; $z < 0$ = di bawah rerata.
Skor-z memungkinkan membandingkan nilai dari distribusi berbeda.