Distribusi Binomial — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung peluang tepat $k$ sukses dari $n$ percobaan berpeluang tetap memakai rumus distribusi binomial.

Bayangkan melempar koin berat sebelah 10 kali — berapa peluang muncul tepat 7 gambar? Setiap lemparan punya dua hasil (gambar atau angka) dengan peluang yang tetap, dan kamu menghitung berapa kali “sukses” terjadi. Inilah inti distribusi binomial: percobaan berulang yang setiap kali hanya punya dua kemungkinan. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider p (peluang sukses) di bawah dan perhatikan puncak distribusi binomial bergeser.

Percobaan Bernoulli: dua hasil berpeluang tetap

Distribusi binomial lahir dari percobaan Bernoulli: sebuah tindakan yang hanya punya dua hasil — sukses (berpeluang $p$ ) atau gagal (berpeluang $q = 1-p$ ). Lempar koin, jawab soal benar-salah, lampu menyala-mati — semua contoh percobaan Bernoulli. Bila percobaan ini diulang $n$ kali secara independen (hasil satu percobaan tak memengaruhi yang lain), jumlah sukses $X$ yang muncul mengikuti distribusi binomial.

Variabel acak binomial $X$ menghitung banyak sukses dalam $n$ percobaan Bernoulli independen berpeluang sukses $p$ . Nilai $X$ mungkin adalah $0, 1, 2, \ldots, n$ . Parameter distribusi: $n$ (banyak percobaan) dan $p$ (peluang sukses tiap percobaan).

Rumus peluang binomial

Untuk mendapat tepat $k$ sukses dari $n$ percobaan, dua hal harus terjadi bersamaan: memilih percobaan mana yang sukses (ada $\binom{n}{k}$ cara), lalu mengalikan peluang $k$ sukses dan $(n-k)$ kegagalan. Hasilnya adalah rumus peluang binomial.

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

Arti tiap simbol: $\binom{n}{k}$ = banyak cara memilih $k$ sukses dari $n$ percobaan (kombinasi); $p^k$ = peluang $k$ sukses; $(1-p)^{n-k}$ = peluang sisanya gagal. Rumus ini berlaku untuk $0 \leq k \leq n$ .

Pada plot di bawah, slider $n$ mengubah banyak percobaan dan kurva aproksimasi meregang. Perhatikan bagaimana kurva binomial makin tinggi-ramping saat $n$ membesar dengan $p$ tetap — pola yang nanti menjadi cikal-bakal kurva lonceng normal.

Mengapa teori cocok dengan kenyataan: hukum bilangan besar

Rumus peluang binomial adalah perhitungan teoretis. Tapi bisakah kamu mempercayainya? Simulasi di bawah melempar dua dadu berulang kali — jumlah matanya (2 sampai 12) punya distribusi mirip binomial (puncak di 7, simetris). Saat banyak percobaan membesar, frekuensi relatif hasil simulasi menstabil di peluang teoretis. Inilah jaminan bahwa rumus binomial memang menggambarkan dunia nyata.

Rumus $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ menjawab: “dari semua susunan $n$ percobaan, berapa banyak yang persis berisi $k$ sukses?”. Ada $\binom{n}{k}$ cara memilih posisi sukses, dan tiap susunan spesifik berpeluang $p^k(1-p)^{n-k}$ . Kalikan keduanya — selesai.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah koin yang berpeluang gambar $p = 0{,}6$ dilempar 5 kali. Berapa peluang muncul tepat 3 gambar?

Ini percobaan binomial: $n = 5$ percobaan, peluang sukses $p = 0{,}6$ , ditanya $P(X = 3)$ . Sukses = muncul gambar.

$P(X=3) = \binom{5}{3}(0{,}6)^3(1-0{,}6)^{5-3} = \binom{5}{3}(0{,}6)^3(0{,}4)^2$ . $\binom{5}{3} = 10$ (5 pilih 3). Lanjut: $10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 10 \times 0{,}03456 = 0{,}3456$ .

Peluang muncul tepat 3 gambar dari 5 lemparan koin berpeluang $0{,}6$ adalah $0{,}3456$ , atau sekitar $34{,}56\%$ . Ini adalah peluang terbesar di antara semua nilai $k$ karena rerata $np = 3$ tepat di $k = 3$ .

Latih kecepatan menghitung koefisien binomial $\binom{n}{k}$ dengan angka acak di bawah.

Jebakan: lupa memeriksa syarat binomial (dua hasil, peluang tetap, independen) dan langsung menerapkan rumus. Yang benar: pastikan dulu percobaan memenuhi tiga syarat; misalnya mengambil kartu tanpa pengembalian melanggar independensi sehingga bukan binomial.

Jebakan: menukar $p^k$ dengan $p^{n-k}$ , atau salah menempatkan $k$ . Yang benar: $p^k$ = peluang $k$ sukses, $(1-p)^{n-k}$ = peluang sisanya gagal. Eksponen sukses selalu $k$ , eksponen kegagalan selalu $n-k$ .

Binomial = $n$ percobaan Bernoulli independen berpeluang sukses $p$ .
Rumus: $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $k = 0, \ldots, n$ .
$\binom{n}{k}$ = banyak cara memilih posisi $k$ sukses dari $n$ percobaan.
Rerata $= np$ ; distribusi simetris saat $p = 0{,}5$ , miring saat $p$ ekstrem.
Syarat wajib: dua hasil, peluang tetap, percobaan independen.