Deret Geometri: Jumlah n Suku

Setelah ini kamu bisa menghitung jumlah $n$ suku pertama deret geometri dengan rumus $S_n = \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ dan membedakannya dari jumlah deret aritmetika.

Di papan catur, petak pertama diisi satu butir beras, kedua dua butir, ketiga empat butir, dan seterusnya menggandakan. Berapa butir total di 10 petak pertama? Kamu bisa menjumlahkannya satu per satu — 1 + 2 + 4 + 8 + … — sampai lelah. Atau pakai satu rumus pendek yang langsung memberi 1.023 butir. Coba lihat sendiri penumpukannya di bawah.

Geser slider jumlah suku, lalu perhatikan batang deret (biru) menumpuk makin tinggi sementara batang suku (oranye) melonjak perlahan.

Dari barisan ke deret

Barisan adalah deretan bilangan; deret adalah hasil jumlahnya. Kalau barisan geometri $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ menyebut tiap suku satu per satu, maka deret geometri $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \dots$ menjumlahkan suku-suku itu sampai suku ke- $n$ . Hasil jumlah itu dilambangkan $S_n$ , dibaca “jumlah $n$ suku pertama”.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku barisan geometri: $S_n = a + ar + ar^{2} + \dots + ar^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}$ . Notasi $S_n$ dibaca “jumlah $n$ suku pertama”.

Jadi deret adalah akumulasi: $S_1 = a$ , $S_2 = a + ar$ , $S_3 = a + ar + ar^{2}$ , dan seterusnya. Tiap suku baru ditambahkan, $S_n$ melonjak — dan karena suku-sukunya sendiri tumbuh perkalian, deretnya pun meledak. Inilah yang membuat legenda catur terdengar mustahil: $S_{64}$ jauh melebihi hasil padi seluruh dunia.

Rumus jumlah $n$ suku

Menjumlahkan satu per satu sampai $n$ besar jelas tak praktis. Untungnya ada rumus ringkas. Untuk barisan geometri bersuku awal $a$ dan rasio $r$ (dengan $r \neq 1$ ), jumlah $n$ suku pertamanya adalah:

$S_n = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

Arti tiap simbol: $S_n$ = jumlah $n$ suku pertama, $a$ = suku pertama, $r$ = rasio, $n$ = banyak suku yang dijumlahkan. Berlaku untuk $r \neq 1$ .

Coba di papan catur: $a = 1$ , $r = 2$ , $n = 10$ . Maka $S_{10} = \dfrac{1(2^{10}-1)}{2-1} = \dfrac{1024 - 1}{1} = 1.023$ . Persis seperti yang kamu lihat di penumpukan tadi. Geser suku awal dan rasio di bawah, lalu amati $S_n$ ikut berubah mengikuti rumus yang sama.

Cara mudah mengingat bentuk rumus: pembilangnya selalu ” $r^n$ dikurangi satu” ( $r^{n}-1$ ), penyebutnya ” $r$ dikurangi satu” ( $r-1$ ). Dua-duanya berakhiran " $-1$ ", dan pangkat $n$ hanya muncul di pembilang. Lalu kalikan semuanya dengan $a$ .

Bandingkan dengan deret aritmetika

Deret geometri dan deret aritmetika kelihatan mirip karena sama-sama “menjumlahkan suku-suku barisan”, tetapi cara mereka tumbuh berbeda jauh. Deret aritmetika tumbuh secara kuadratis (seperti luas segitiga), sedangkan deret geometri tumbuh secara eksponensial — dalam beberapa suku, deret geometri bisa melampaui deret aritmetika walau awalnya terlihat lebih kecil.

Aspek	Deret aritmetika	Deret geometri
Sumber barisan	Beda tetap ( $b$ )	Rasio tetap ( $r$ )
Rumus $S_n$	$\tfrac{n}{2}(2a + (n-1)b)$	$\tfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
Cara tumbuh	Kuadratis	Eksponensial
Kasus khusus	$b = 0 \Rightarrow S_n = n \cdot a$	$r = 1 \Rightarrow S_n = n \cdot a$

Kasus khusus: rasio 1

Rumus $S_n = \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ punya satu kelemahan: bila $r = 1$ , penyebutnya menjadi nol. Tapi jangan panik — kalau $r = 1$ , semua sukunya sama dengan $a$ , jadi menjumlahkan $n$ suku yang sama-sama $a$ sama saja dengan mengalikan: $S_n = n \cdot a$ .

Pikirkan begini: kalau setiap petak papan catur berisi tepat 5 butir beras (rasio 1, tak ada penggandaan), maka 10 petak berisi $10 \times 5 = 50$ butir. Itulah $S_n = n \cdot a$ untuk $r = 1$ .

Di TKA dan UTBK, soal deret geometri hampir selalu berbalut konteks — pertumbuhan bakteri, peluruhan, bunga tabungan, atau penyebaran rumor — dan meminta $S_n$ . Trik cepat: hitung dulu $r$ dari dua suku berurutan, lalu substitusi ke $S_n = \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan barisan dan deret pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: keliru memakai rumus deret aritmetika, atau lupa menangani kasus $r = 1$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah lembar kertas dilipat dua berulang. Setiap lipatan melipatgandakan ketebalan jadi dua kali. Mula-mula ketebalan kertas 0,1 mm. Berapa total ketebalan yang “ditumpuk” oleh 8 kali lipatan? (Yakni: cari jumlah 8 suku deret geometri dengan $a = 0{,}1$ dan $r = 2$ .)

Ketebalan mula-mula = $0{,}1$ mm, jadi suku pertama $a = 0{,}1$ . Setiap lipatan menggandakan ketebalan, jadi rasio $r = 2$ . Banyak lipatan = 8, jadi $n = 8$ . Karena $r \neq 1$ , kita pakai rumus utama.

$S_8 = \dfrac{a(r^{8}-1)}{r-1} = \dfrac{0{,}1 \cdot (2^{8}-1)}{2-1}$ . Hitung pangkat: $2^{8} = 256$ .

$S_8 = \dfrac{0{,}1 \cdot (256 - 1)}{1} = 0{,}1 \cdot 255 = 25{,}5$ . Jadi total ketebalan yang ditumpuk 8 kali lipatan adalah $25{,}5$ mm — dari yang awalnya cuma setipis $0{,}1$ mm.

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi suku awal, rasio, dan banyak suku berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”. Tugasmu menghitung jumlah $n$ suku $S_n = \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ .

Jebakan: tertukar rumus deret geometri dengan deret aritmetika. Yang benar: deret geometri memakai $S_n = \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ (rasio $r$ ), sedangkan deret aritmetika memakai $S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ (beda $b$ ). Cek dulu jenis barisan dari pola suku-sukunya.

Jebakan: langsung mensubstitusi $r = 1$ ke rumus utama sehingga penyebut nol dan jawaban “tak terdefinisi”. Yang benar: bila $r = 1$ , semua suku sama dengan $a$ , sehingga $S_n = n \cdot a$ — jumlahnya pasti ada dan berhingga.

Jebakan: mencampuradukkan $S_n$ (jumlah kumulatif) dengan $U_n$ (suku terakhir). Yang benar: $S_n$ adalah $a + ar + \dots + ar^{n-1}$ (seluruh suku dijumlahkan), sedangkan $U_n$ hanya $ar^{n-1}$ (satu suku saja). Pada soal bakteri, $S_n$ = total yang pernah ada, $U_n$ = jumlah pada saat terakhir.