Deret Geometri Tak Hingga: Berujung

Setelah ini kamu bisa memutuskan kapan deret geometri tak hingga konvergen, dan menghitung jumlahnya dengan $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ untuk $|r| < 1$ .

Zeno bicara tentang perlombaan: untuk sampai garis finish, kamu harus sampai setengah jalan dulu; setelah itu setengah dari sisa; lalu setengah lagi; dan seterusnya selamanya. Tapi kamu tahu pelari memang sampai finish. Bagaimana menjumlahkan $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots$ yang tidak pernah berhenti? Jawabannya: walaupun suku tak terhingga banyaknya, hasilnya berhenti tepat di angka 1. Itulah deret geometri tak hingga yang konvergen. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol preset rasio berbeda, lalu perhatikan batang deret yang menyusut menuju satu batas.

Kapan deret tak hingga berujung

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan $\sum_{k=1}^{\infty} a \cdot r^{k-1}$ yang berjalan selamanya. Pertanyaannya: berhentikah hasilnya di suatu angka, atau membesar tanpa batas? Kuncinya pada rasio $r$ . Bila $|r| < 1$ , tiap suku lebih kecil dari sebelumnya sehingga tambahan makin mengecil — deret konvergen menuju satu nilai. Bila $|r| \geq 1$ , suku tidak menyusut (atau malah membesar) sehingga deret divergen.

Deret geometri tak hingga konvergen bila $|r| < 1$ , dengan jumlah $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ . Bila $|r| \geq 1$ , deret divergen (tak punya jumlah berhingga).

Bayangkan memotong kue tak hingga kali: potongan pertama separuh, lalu separuh dari sisa, begitu seterusnya. Walaupun pemotongan tak berhenti, total kue yang terpotong tidak pernah melebihi satu kue utuh — deret konvergen ke 1. Sebaliknya, kalau tiap potongan sama besar atau lebih besar dari sebelumnya, kuenya “meluap” — deret divergen.

Rumus $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$

Dari rumus deret geometri berhingga $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ , saat $n \to \infty$ dan $|r| < 1$ , suku $r^n$ membesar menuju nol. Maka penyebut menyederut menjadi $1-r$ saja, dan kita peroleh rumus elegan:

$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}, \quad \text{berlaku bila } |r| < 1$

Arti tiap simbol: $S_\infty$ = jumlah deret tak hingga, $a$ = suku pertama, $r$ = rasio dengan $|r|<1$ .

Pada plot di bawah, kurva menunjukkan $S_n$ terhadap $n$ bersama garis asimtot $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ . Geser rasio $r$ dan perhatikan bagaimana kurva mendekati asimtot tetapi tak pernah menyentuhnya — itulah inti konvergensi.

Konvergen vs divergen: garis batas |r|=1

Batas tipis antara konvergen dan divergen adalah $|r| = 1$ . Pada $r = 1$ deret menjumlahkan $a + a + a + \dots$ yang membesar tanpa batas; pada $r = -1$ suku bergantian $a, -a, a, -a, \dots$ sehingga jumlah berayun tak menetap. Pada $|r| > 1$ suku membesar dan deret meledak. Bandingkan tiga skenario di bawah.

Rasio $r$	Suku-suku	Deret	Hasil
$0 < r < 1$	Menyusut positif	Konvergen	$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$
$-1 < r < 0$	Menyusut bergantian tanda	Konvergen	$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$
$r = 1$	Tetap $a, a, a, \dots$	Divergen	Tak berhingga
$	r	> 1$	Membesar

Paruh-paruh persegi: ½+¼+⅛+… = 1

Kasus paling terkenal: $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ . Visualnya seperti memotong persegi satuan: separuh, lalu seperempat, lalu seperdelapan, dan seterusnya — semua potongan memenuhi persegi itu tepat penuh walau tak pernah habis dipotong. Pada deret di bawah, batang kumulatif mendekati 1 sebagai asimtot.

Di TKA dan UTBK, soal deret tak hingga sering berbentuk pola kontekstual — pantulan bola yang makin rendah, air mengalir bertingkat, atau pecahan berulang — dan meminta jumlah totalnya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan barisan dan deret pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: menerapkan rumus $S_\infty$ padahal $|r| \geq 1$ (deret divergen), atau keliru menempatkan $a$ sebagai suku ke-0 padahal rumus memakai suku pertama.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m. Tiap kali memantul, ketinggian rally menjadi tiga perempat dari sebelumnya. Berapa total jarak tempuh bola sampai benar-benar berhenti? (Asumsikan: jatuh sekali, lalu memantul turun-naik tanpa henti.)

Jarak jatuh awal = 4 m. Setelah itu, tiap pantulan menambah jarak naik dan turun yang sama besar: $2 \times (3/4 \times 4)$ , lalu $2 \times (3/4)^2 \times 4$ , dan seterusnya.

Jatuh awal: 4 m. Deret pantulan (naik-turun): $2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (3/4) + 2 \cdot 3 \cdot (3/4)^2 + \dots = 6 \cdot \bigl[1 + (3/4) + (3/4)^2 + \dots\bigr]$ .

Kurung siku adalah deret geometri tak hingga dengan $a=1$ , $r=3/4$ , jadi $S_\infty = \dfrac{1}{1-3/4} = 4$ . Maka total pantulan = $6 \times 4 = 24$ m. Tambahkan jatuh awal: total jarak = $4 + 24 = 28$ m.

Jebakan: langsung memakai rumus $S_\infty = a/(1-r)$ tanpa cek $|r|<1$ . Yang benar: selalu periksa dulu $|r|<1$ ; bila $|r| \geq 1$ deret divergen dan rumus tak berlaku (meskipun secara aljabar menghasilkan angka, angka itu menyesatkan).

Jebakan: keliru menempatkan $a$ . Yang benar: $a$ adalah suku pertama deret (bukan suku ke-0). Bila soal memberi pola mulai dari suku ke-2 atau memberi $U_1$ , telusuri dulu mana suku pertama deret yang dijumlahkan.

Jebakan: mengira $r=-1$ konvergen karena $|r|=1$ “di batas”. Yang benar: pada $r=-1$ suku bergantian $a, -a, a, -a, \dots$ sehingga jumlah berayun antara dua nilai dan tak menetap — deret divergen.

Deret geometri tak hingga konvergen bila $|r| < 1$ ; jumlahnya $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ .
Bila $|r| \geq 1$ , deret divergen — tak punya jumlah berhingga, rumus tak berlaku.
Asal rumus: dari $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ , saat $n \to \infty$ dan $|r|<1$ , $r^n \to 0$ .
Kasus klasik: $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\dots = 1$ .
Makin dekat $|r|$ ke 1, konvergensi makin lambat (tambahan tiap suku makin lambat mengecil).

Kapan deret tak hingga berujung

Rumus S∞=a1−rS_\infty = \dfrac{a}{1-r}S∞​=1−ra​

Konvergen vs divergen: garis batas |r|=1

Paruh-paruh persegi: ½+¼+⅛+… = 1

Rumus $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$