Bunga Majemuk: Bunga Berbunga

Setelah ini kamu bisa menghitung nilai akhir bunga majemuk dengan $M_n = M_0(1+i)^n$ , membandingkannya dengan bunga tunggal, dan menerapkan aturan 72.

Kamu menabung Rp1.000.000 dengan bunga 12% per tahun. Setahun jadi Rp1.120.000, dua tahun jadi Rp1.254.400, bukan Rp1.240.000. Beda sedikit di awal, tapi sepuluh tahun kemudian selisihnya menjadi puluhan juta. Rahasianya: bunga tahun ini dihitung dari saldo yang sudah termasuk bunga tahun lalu — bunga berbunga. Coba lihat sendiri kurvanya di bawah.

Coba tekan tombol preset suku bunga berbeda, lalu perhatikan makin ke kanan batang makin melonjak.

Konsep: bunga berbunga

Pada bunga majemuk, bunga tiap periode dihitung dari saldo terbaru — pokok ditambah bunga periode-periode sebelumnya. Tiap periode, saldo dikalikan faktor $(1 + i)$ dengan $i$ suku bunga per periode. Karena dikalikan ulang terus-menerus, saldonya tumbuh sebagai barisan geometri.

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung dari pokok ditambah seluruh bunga yang sudah terkumpul, sehingga tiap periode saldonya dikalikan $(1 + i)$ . Inilah ciri barisan geometri.

Bunga majemuk seperti bola salju yang menggelinding di lereng bersalju: makin lama makin besar, dan makin cepat membesar karena permukaan yang menempel salju juga ikut bertambah. Beda dengan bunga tunggal yang hanya mengambil bunga dari pokok awal — bola saljunya tidak pernah membesar.

Rumus $M_n = M_0(1+i)^n$

Kalau modal awal $M_0$ dikalikan $(1+i)$ setiap periode, setelah $n$ periode saldo menjadi $M_0 \times (1+i)^n$ . Itu rumus suku ke- $n$ barisan geometri, dengan rasio $r = (1+i)$ dan suku pertama $M_0$ .

$M_n = M_0 \,(1+i)^{n}$

Arti tiap simbol: $M_n$ = saldo setelah $n$ periode, $M_0$ = modal awal, $i$ = suku bunga per periode, $n$ = banyak periode.

Geser modal dan suku bunga lewat preset di bawah, lalu bandingkan tinggi batang ke-1, ke-5, dan ke-10 — pertumbuhannya bukan garis lurus, melainkan melengkung makin curam.

Duel: bunga tunggal vs bunga majemuk

Bunga tunggal menghitung bunga hanya dari pokok awal $M_0$ , jadi pertambahannya tetap tiap tahun (barisan aritmetika). Bunga majemuk menghitung dari saldo kumulatif (barisan geometri). Awalnya keduanya mirip, tetapi makin lama bunga majemuk makin menjauh.

Aspek	Bunga tunggal	Bunga majemuk
Dasar bunga	Pokok awal $M_0$	Saldo kumulatif
Jenis barisan	Aritmetika	Geometri
Pertumbuhan	Linier (tetap)	Eksponensial (makin cepat)
Cocok untuk	Pinjaman jangka pendek	Tabungan, KPR, investasi

Frekuensi penggabungan: tahunan vs bulanan

Bunga 12% per tahun bisa digabung sekali setahun (faktor 1,12), atau dua belas kali setahun dengan $i/12 = 1\%$ tiap bulan (faktor $1{,}01^{12} \approx 1{,}1268$ ). Meski suku bunga nominal sama, makin sering digabung, makin besar hasil akhirnya. Inilah sebabnya bank sering mengiklankan bunga “efektif” yang berbeda dari nominal.

Pada plot deret di bawah, batang menunjukkan saldo kumulatif — bandingkan akhir tahun ke-10 antara dua frekuensi penggabungan.

Aturan 72: perkiraan cepat lipat dua

Berapa lama modal berlipat ganda pada bunga majemuk? Aturan 72 memberi perkiraan kilat: $\text{lama (periode)} \approx \frac{72}{\text{suku bunga (\%)}}$ . Pada bunga 8% per tahun, modal berlipat dalam sekitar $72/8 = 9$ tahun; pada 12%, sekitar 6 tahun. Ini perkiraan, bukan tepat, tetapi cukup akurat untuk suku bunga wajar.

Aturan 72 memanfaatkan sifat eksponensial: agar $(1+i)^n = 2$ , kira-kira $n \cdot i \approx 0{,}72$ (karena $\ln 2 \approx 0{,}693$ ). Bagi 72 dengan persen bunga, dapatkan perkiraan periode untuk lipat dua.

Bandingkan pada plot di bawah: berapa periode sampai batang melewati dua kali suku pertama?

Di TKA dan UTBK, soal bunga majemuk sering berbentuk cerita tabungan, deposito, atau KPR, dan meminta saldo akhir atau perbandingan dengan bunga tunggal. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan bunga dan anuitas pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: keliru memakai rumus bunga tunggal $M_0(1 + i \cdot n)$ padahal soal meminta bunga majemuk.

Latihan: nilai akhir bunga majemuk

Sekarang uji sendiri. Tiap kali kamu menekan tombol soal baru, angkanya berganti secara acak tapi bisa direproduksi. Kerjakan di kertas, lalu ketik jawabanmu (dalam ribu rupiah, bulatkan ke bilangan bulat).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Rina menabung Rp2.000.000 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun. Berapa saldo Rina setelah 4 tahun? Untuk memudahkan, pakai satuan ribu rupiah, jadi Rp2.000.000 kita tulis 2.000.

Modal awal $M_0 = 2.000$ (ribu rupiah). Suku bunga $i = 10\% = 0,10$ per tahun. Lama $n = 4$ tahun.

$M_4 = M_0(1+i)^4 = 2.000 \times (1,10)^4$ . Hitung pangkatnya: $(1,10)^4 = 1,4641$ .

$M_4 = 2.000 \times 1,4641 = 2.928,2$ ribu rupiah, jadi sekitar Rp2.928.200. Bunga tunggal hanya menghasilkan $2.000 \times 1,4 = 2.800$ ribu — selisih sekitar Rp128.200 menjadi bukti kekuatan bunga berbunga.

Jebakan: memakai rumus bunga tunggal $M_n = M_0(1 + i \cdot n)$ padahal soal meminta bunga majemuk. Yang benar: bunga majemuk memakai $M_n = M_0(1+i)^n$ — pangkat, bukan kali.

Jebakan: mengira penggabungan tahunan dan bulanan pada suku bunga nominal sama menghasilkan saldo akhir identik. Yang benar: penggabungan makin sering makin besar hasil akhirnya karena bunga lebih cepat dihitung ulang.

Jebakan: menyamakan suku bunga nominal dengan efektif. Yang benar: nominal 12% setahun digabung bulanan memberi bunga efektif sekitar 12,68% — sedikit lebih besar karena efek frekuensi.

Bunga majemuk menghitung bunga dari saldo kumulatif — barisan geometri.
Rumus nilai akhir: $M_n = M_0(1+i)^n$ dengan $i$ suku bunga per periode.
Bunga tunggal tumbuh linier; bunga majemuk tumbuh eksponensial dan menyalip dalam jangka panjang.
Makin sering frekuensi penggabungan, makin besar hasil akhir pada nominal sama.
Aturan 72: $\text{lama lipat dua} \approx 72 / \text{suku bunga (\%)}$ .