Operasi Bentuk Akar & Merasionalkan Penyebut — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menyederhanakan, menjumlahkan, mengalikan bentuk akar, serta merasionalkan penyebut pecahan berakar.

$\sqrt{12}$ terlihat rumit, padahal nilainya sama dengan $2\sqrt{3}$ . Begitu juga $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — banyak guru melarang bentuk seperti ini di jawaban akhir. Mengapa? Karena penyebut berakar sulit diestimasi dan dihitung. Ada trik rapi yang mengubah keduanya menjadi bentuk jauh lebih sederhana tanpa mengubah nilai. Trik itulah yang kamu kuasai di artikel ini. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $a$ , lalu amati bahwa luas persegi sisi $a$ sama dengan nilai $\sqrt{a^2}$ .

Akar adalah kebalikan kuadrat

Bentuk akar $\sqrt{x}$ berarti “bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan $x$ ”. Jadi $\sqrt{9} = 3$ karena $3^2 = 9$ , dan $\sqrt{16} = 4$ karena $4^2 = 16$ . Inilah inti yang membuat semua aturan bentuk akar masuk akal: setiap operasi pada akar selalu bisa dicek dengan mengkuadratkan hasilnya.

Bentuk akar adalah ekspresi $\sqrt{a}$ dengan $a \geq 0$ , yang nilainya ialah bilangan non-negatif yang dikuadratkan menghasilkan $a$ . Bentuk akar sejenis adalah dua bentuk akar dengan bagian dalam akar yang sama, misalnya $3\sqrt{5}$ dan $7\sqrt{5}$ .

Selalu ingat syarat $a \geq 0$ : akar dari bilangan negatif (dalam sistem bilangan real) tidak terdefinisi. Di widget tadi kurva $\sqrt{x}$ hanya berjalan dari $x = 0$ ke kanan, bukan ke kiri.

Menyederhanakan dengan faktor kuadrat sempurna

Bentuk seperti $\sqrt{12}$ bisa diperingan. Faktorkan $12 = 4 \times 3$ , di mana $4$ adalah kuadrat sempurna. Maka $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ . Triknya: keluarkan setiap faktor kuadrat sempurna keluar dari tanda akar sebagai bilangan biasa.

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}, \quad a \geq 0, \, b \geq 0$

Arti tiap simbol: $a$ dan $b$ bilangan non-negatif; akar perkalian sama dengan perkalian akar.

Langkah mekanisnya: cari pasangan faktor terbesar yang kuadrat sempurna. Misal $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ , dan $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ . Geser slider $n$ di bawah untuk membandingkan $\sqrt{n}$ dengan bentuk sederhananya — keduanya identik nilainya, hanya penulisan yang berbeda.

Menjumlahkan dan mengalikan bentuk akar

Penjumlahan bentuk akar hanya boleh dilakukan bila sejenis (bagian dalam akar sama). $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ , persis seperti $3x + 5x = 8x$ . Tetapi $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ tidak bisa dijumlahkan menjadi satu bentuk akar — keduanya tetap berbeda suku.

Jebakan: menulis $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ . Yang benar: bentuk akar berbeda tidak bisa dijumlahkan menjadi satu akar; $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ tetap demikian, nilainya sekitar $3,15$ , sedangkan $\sqrt{5} \approx 2,24$ .

Perkalian bentuk akar lebih longgar: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ selalu berlaku. Misalnya $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ . Trik paling berguna ialah $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ , yang menjadi dasar merasionalkan penyebut. Geser $m$ dan $n$ di bawah dan amati hasil kali $\sqrt{m} \times \sqrt{n} = \sqrt{m \times n}$ .

Merasionalkan penyebut

Penyebut berbentuk $\sqrt{a}$ dianggap belum selesai karena sulit dibagi secara manual. Triknya: kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$ sehingga penyebut menjadi $a$ . Misalnya $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ . Nilainya tidak berubah, hanya bentuk yang dipermudah.

$\frac{k}{\sqrt{a}} = \frac{k \sqrt{a}}{a}, \quad a > 0$

Arti tiap simbol: $k$ pembilang, $a$ bilangan di dalam akar penyebut (harus positif, bukan nol).

Merasionalkan penyebut seperti “menetralkan” akar di bawah. Kalikan penyebut dengan dirinya sendiri, dan akar pun hilang karena $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ .

Geser titik $x$ di garis bilangan berikut dan bandingkan posisi pecahan asli $\frac{1}{\sqrt{x}}$ dengan bentuk rasional $\frac{\sqrt{x}}{x}$ — keduanya selalu berimpit, membuktikan nilainya sama.

Di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif, menyederhanakan bentuk akar dan merasionalkan penyebut adalah keterampilan dasar yang muncul di soal menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ABC, hingga menentukan panjang sisi hasil perhitungan. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan operasi bentuk akar pada elemen Bilangan. Latih kebiasaan: tulis jawaban akhir selalu dengan penyebut rasional dan bentuk akar paling sederhana.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sederhanakan $\frac{6}{\sqrt{12}}$ hingga penyebut rasional dan bentuk akar paling sederhana.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ . Maka pecahan menjadi $\frac{6}{2\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$ .

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ : $\frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ . Jadi jawabannya $\sqrt{3}$ .

Latihan berikut mengacak soal penyederhanaan. Kerjakan dahulu di kertas, ketik koefisien di depan akar, lalu tekan Soal baru untuk ganti.

Jebakan: menambahkan bentuk akar berbeda menjadi satu akar, misalnya $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$ . Yang benar: sederhanakan dulu $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , lalu jumlahkan sejenis menjadi $3\sqrt{2}$ — tidak pernah menjadi $\sqrt{10}$ .

Jebakan: menganggap $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sudah merupakan jawaban akhir. Yang benar: penyebut berakar wajib dirasionalkan menjadi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sebelum dianggap selesai.

Bentuk akar $\sqrt{a}$ ( $a \geq 0$ ) adalah bilangan yang dikuadratkan menghasilkan $a$ .
Sederhanakan dengan mengeluarkan faktor kuadrat sempurna: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .
Penjumlahan hanya untuk bentuk akar sejenis; jumlahkan koefisiennya saja.
Perkalian akar bebas: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ , dan $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ .
Merasionalkan penyebut: kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$ .