Barisan Geometri: Pola Rasio Tetap

Setelah ini kamu bisa mengenali barisan geometri, menyusun rumus suku ke- $n$ dengan $U_n = a \cdot r^{n-1}$ , dan membedakannya dari barisan aritmetika.

Legenda catur mengisahkan seorang penemu minta upah beras: satu butir di petak pertama, dua di kedua, empat di ketiga, dan seterusnya menggandakan. Petak ke-20 sudah lebih dari satu juta butir; petak ke-64 melebihi hasil padi seluruh dunia. Itulah kekuatan rasio tetap — bilangan yang berkembang biak lewat perkalian. Coba lihat sendiri polanya di bawah.

Coba tekan tombol preset rasio berbeda, lalu perhatikan batang yang makin melonjak ke kanan.

Apa itu barisan geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang pembagian antar dua suku berurutan selalu sama. Nilai pembagian tetap itu disebut rasio, dilambangkan $r$ . Pada legenda catur tadi, tiap petak berisi dua kali petak sebelumnya — itu berarti $r = 2$ .

Barisan geometri adalah barisan dengan pembagian antar suku berurutan tetap: $U_{n} / U_{n-1} = r$ untuk semua $n \geq 2$ (dengan $U_{n-1} \neq 0$ ). Konstanta $r$ disebut rasio.

Karena pembaginya tetap, suku-sukunya tumbuh (atau menyusut) secara perkalian. Rasio lebih besar dari 1 membuat barisan membesar makin cepat; rasio antara 0 dan 1 membuatnya mengecil mendekati nol; rasio negatif membuat tanduknya bergantian positif-negatif.

Bayangkan bakteri yang membelah diri dua kali setiap jam. Satu jadi dua, dua jadi empat, empat jadi delapan. Itu barisan geometri rasio 2. Beda dengan barisan aritmetika yang seperti menabung Rp1.000 tiap hari (tambahan tetap), geometri seperti bunga tabungan yang dihitung dari saldo — makin lama makin lompat.

Rumus suku ke- $n$

Dari suku pertama $a$ dan rasio $r$ , suku kedua adalah $a \cdot r$ , suku ketiga $a \cdot r^2$ , dan seterusnya. Polanya jelas: untuk sampai ke suku ke- $n$ , kamu mengalikan rasio sebanyak $(n - 1)$ kali.

$U_n = a \cdot r^{\,n-1}$

Arti tiap simbol: $U_n$ = suku ke- $n$ , $a$ = suku pertama, $r$ = rasio, $n$ = posisi suku.

Geser suku awal dan rasio lewat preset di bawah, lalu amati bagaimana setiap batang ikut berubah — posisi tiap batang selalu bisa dihitung dari $a$ dan $r$ saja, dan eksponen naik satu tiap suku.

Aritmetika vs geometri: kapan geometri menyalip

Barisan aritmetika bertambah dengan menambah beda, sedangkan geometri bertambah dengan mengalikan rasio. Awalnya aritmetika bisa kelihatan lebih cepat bila bedanya besar, tetapi geometri yang berkembang biak lewat perkalian akhirnya menyalip. Kapan? Tergantung suku awal, beda, dan rasio.

Aspek	Barisan aritmetika	Barisan geometri
Pola antar suku	Selisih tetap ( $b$ )	Pembagian tetap ( $r$ )
Cara tumbuh	Menambah	Mengalikan
Rumus suku ke- $n$	$a + (n-1)b$	$a \cdot r^{n-1}$
Pertumbuhan jangka panjang	Linier	Eksponensial

Rasio pecahan dan rasio negatif

Rasio tidak harus bilangan bulat. Bila $0 < r < 1$ , suku-suku makin mengecil dan mendekati nol — model peluruhan radioaktif atau bahan obat yang tersisa di darah. Bila $r$ negatif, tanduk batang bergantian positif dan negatif — getaran osilasi sederhana.

Di TKA dan UTBK, soal barisan geometri sering berbentuk pola kontekstual — pertumbuhan bakteri, peluruhan, bunga tabungan, atau legenda catur — dan meminta suku ke- $n$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan barisan dan deret pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: tertukar rasio dengan beda, atau keliru memakai pangkat $n$ alih-alih $(n-1)$ pada rumus suku.

Latihan: suku ke- $n$ berparameter

Sekarang uji sendiri. Tiap kali kamu menekan tombol soal baru, angkanya berganti secara acak tapi bisa direproduksi. Kerjakan di kertas, lalu ketik jawabanmu.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah bakteri membelah dua kali setiap jam. Mula-mula ada 5 bakteri. Berapa bakteri setelah 8 jam? (Ingat: pembelahan pertama terjadi di akhir jam ke-1.)

Bakteri mula-mula = 5, jadi suku pertama $a = 5$ . Tiap jam jumlahnya menjadi dua kali, jadi rasio $r = 2$ . Setelah 8 jam, kita cari suku ke- $n$ dengan $n = 8 + 1 = 9$ (suku ke-1 = keadaan awal jam ke-0).

$U_9 = a \cdot r^{9-1} = 5 \times 2^8$ . Hitung pangkatnya: $2^8 = 256$ .

$U_9 = 5 \times 256 = 1.280$ . Jadi setelah 8 jam ada 1.280 bakteri — lonjakan dari sekadar 5 berkat kekuatan rasio tetap.

Jebakan: memakai pangkat $n$ alih-alih $(n-1)$ pada rumus suku ke- $n$ . Yang benar: dari suku pertama ke suku ke- $n$ hanya ada $(n-1)$ kali pengalian rasio, jadi $U_n = a \cdot r^{n-1}$ .

Jebakan: tertukar rasio dengan beda. Yang benar: rasio adalah pembagian $U_n / U_{n-1}$ (geometri), sedangkan beda adalah pengurangan $U_n - U_{n-1}$ (aritmetika). Barisan geometri tidak punya beda.

Jebakan: mengira barisan geometri selalu membesar. Yang benar: bila $0 < r < 1$ barisan menyusut mendekati nol; bila $r$ negatif tandaknya bergantian — geometri tidak harus monoton naik.

Barisan geometri punya rasio tetap $r$ antar suku berurutan: $U_n / U_{n-1} = r$ .
Rumus suku ke- $n$ : $U_n = a \cdot r^{n-1}$ dengan $a$ suku pertama.
Rasio $r > 1$ barisan membesar; $0 < r < 1$ menyusut; $r$ negatif tandak bergantian.
Geometri tumbuh eksponensial dan menyalip aritmetika (linier) dalam jangka panjang.
Rasio adalah pembagian, bukan pengurangan — jangan tertukar dengan beda aritmetika.