Barisan Aritmetika: Pola Beda Tetap

Setelah ini kamu bisa mengenali barisan aritmetika, menyusun rumus suku ke- $n$ , dan menjumlahkan deretnya dengan rumus serta trik Gauss.

Bayangkan deretan kursi bioskop: baris pertama 10 kursi, baris kedua 12, baris ketiga 14, dan seterusnya selalu bertambah dua. Tanpa menghitung satu per satu, kamu bisa tahu berapa kursi di baris ke-50. Rahasianya adalah pola beda tetap — selisih antar suku yang tidak pernah berubah. Coba lihat sendiri polanya di bawah.

Coba tekan tombol preset beda berbeda, lalu perhatikan jarak antar batang yang selalu sama.

Apa itu barisan aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antar dua suku berurutan selalu sama. Selisih tetap itu disebut beda, dilambangkan $b$ . Pada baris kursi bioskop tadi, setiap baris bertambah 2 kursi — itu berarti $b = 2$ .

Barisan aritmetika adalah barisan dengan selisih antar suku berurutan tetap: $U_{n} - U_{n-1} = b$ untuk semua $n \geq 2$ . Konstanta $b$ disebut beda.

Karena selisihnya tetap, suku-sukunya naik (atau turun) secara teratur. Beda positif membuat barisan membesar ke kanan; beda negatif membuatnya mengecil. Beda nol? Barisannya datar — semua suku sama.

Bayangkan anak tangga yang seragam. Tiap anak tangga tingginya sama, jadi kalau kamu tahu tinggi satu anak dan berapa banyak anak, kamu tahu tinggi total tangga. Beda barisan aritmetika itu persis tinggi satu anak tangga.

Rumus suku ke- $n$

Dari suku pertama $a$ dan beda $b$ , suku kedua adalah $a + b$ , suku ketiga $a + 2b$ , dan seterusnya. Polanya jelas: untuk sampai ke suku ke- $n$ , kamu menambahkan beda sebanyak $(n - 1)$ kali.

$U_n = a + (n - 1)\,b$

Arti tiap simbol: $U_n$ = suku ke- $n$ , $a$ = suku pertama, $n$ = posisi suku, $b$ = beda.

Geser suku awal dan beda pada plot di bawah, lalu amati bagaimana setiap batang ikut berubah — posisi tiap batang selalu bisa dihitung dari $a$ dan $b$ saja.

Aritmetika vs geometri: kapan geometri menyalip

Barisan aritmetika bertambah dengan menambah beda, sedangkan barisan geometri bertambah dengan mengalikan rasio. Awalnya aritmetika bisa kelihatan lebih cepat, tetapi geometri yang berkembang biak lewat perkalian akhirnya menyalip. Kapan? Tergantung suku awal, beda, dan rasio.

Aritmetika seperti nabung Rp1.000 tiap hari — tambahannya selalu sama. Geometri seperti bunga tabungan — tambahan hari ini dihitung dari saldo kemarin, jadi makin lama makin besar lompatannya.

Deret aritmetika: jumlah $n$ suku

Kalau kamu menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika, hasilnya disebut deret. Jumlah $n$ suku pertama dilambangkan $S_n$ . Karena tiap suku teratur, kamu tidak perlu menjumlah satu per satu — ada rumus praktis.

$S_n = \frac{n}{2}\,(a + U_n) = \frac{n}{2}\,(2a + (n-1)b)$

Arti tiap simbol: $S_n$ = jumlah $n$ suku pertama, $n$ = banyak suku, $a$ = suku pertama, $U_n$ = suku terakhir, $b$ = beda.

Pada plot deret di bawah, batang menunjukkan jumlah kumulatif $S_n$ — makin ke kanan makin tinggi, tapi pertambahannya melambat pelan karena beda tetap (bukan menggandakan).

Trik Gauss: pasangan senilai

Konon, murid kecil Carl Friedrich Gauss diminta menjumlahkan $1 + 2 + \dots + 100$ . Ia tidak menjumlah satu per satu, melainkan memasangkan: $(1 + 100)$ , $(2 + 99)$ , $(3 + 98)$ , dan seterusnya. Tiap pasangan berjumlah $101$ , dan ada $50$ pasangan. Hasilnya $50 \times 101 = 5050$ .

Trik itu berlaku untuk semua deret aritmetika: suku pertama ditambah suku terakhir selalu sama dengan suku kedua ditambah suku kedua-terakhir, dan seterusnya. Maka jumlah total = banyak pasangan $\times$ nilai tiap pasangan = $\frac{n}{2}(a + U_n)$ .

Di TKA dan UTBK, soal barisan aritmetika sering menyodorkan pola kontekstual — kursi, tangga, tabungan rutin — dan meminta suku ke- $n$ atau jumlah $n$ suku. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan barisan dan deret pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: tertukar beda dengan rasio, atau keliru memakai $(n-1)$ vs $n$ pada rumus.

Latihan: suku ke- $n$ berparameter

Sekarang uji sendiri. Tiap kali kamu menekan tombol soal baru, angkanya berganti secara acak tapi bisa direproduksi. Kerjakan di kertas, lalu ketik jawabanmu.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Baris kursi bioskop bertambah tetap: baris pertama berisi 10 kursi dan setiap baris berikutnya berisi 4 kursi lebih banyak. Berapa kursi pada baris ke-15, dan berapa total kursi pada 15 baris pertama?

Baris pertama = 10 kursi, jadi suku pertama $a = 10$ . Tiap baris bertambah 4, jadi beda $b = 4$ .

Pakai rumus $U_n = a + (n-1)b$ : $U_{15} = 10 + (15-1) \times 4 = 10 + 56 = 66$ . Jadi baris ke-15 ada 66 kursi.

Total kursi = $S_{15} = \frac{15}{2}(a + U_{15}) = \frac{15}{2}(10 + 66) = \frac{15}{2} \times 76 = 15 \times 38 = 570$ . Total kursi 15 baris pertama adalah 570.

Jebakan: memakai $n \times b$ alih-alih $(n-1) \times b$ pada rumus suku ke- $n$ . Yang benar: dari suku pertama ke suku ke- $n$ hanya ada $(n-1)$ langkah, jadi $U_n = a + (n-1)b$ .

Jebakan: tertukar beda dengan rasio. Yang benar: beda adalah pengurangan $U_n - U_{n-1}$ (aritmetika), sedangkan rasio adalah pembagian $U_n / U_{n-1}$ (geometri). Barisan aritmetika tidak punya rasio.

Jebakan: mengira jumlah deret $S_n$ tumbuh eksponensial. Yang benar: $S_n$ deret aritmetika tumbuh kuadratik ( $\approx \frac{b}{2}n^2$ ); pertumbuhan eksponensial adalah ciri deret geometri.

Barisan aritmetika punya beda tetap $b$ antar suku berurutan.
Rumus suku ke- $n$ : $U_n = a + (n-1)b$ dengan $a$ suku pertama.
Jumlah $n$ suku: $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ .
Trik Gauss memasangkan suku awal-akhir yang senilai untuk menjumlah cepat.
Beda positif barisan naik, negatif turun; bukan rasio seperti geometri.