Persamaan Garis Singgung Lingkaran — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyusun persamaan garis singgung lingkaran pada sebuah titik di kelilingnya, serta mencari garis singgung bergradien tertentu.

Bayangkan seorang perahu karet yang menepi sebuah danau berbentuk lingkaran sempurna. Perahu boleh menyentuh tepi danau di satu titik saja tanpa menembusnya — itulah posisi menyinggung. Dari titik sentuh itu, perahu mengarah ke satu arah tertentu (satu gradien). Posisi titik sentuh dan arah perahu saling menentukan: kalau tahu titiknya, kamu bisa hitung gradiennya, dan sebaliknya. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider sudut pada bangun di bawah dan perhatikan titik singgung bergerak mengelilingi lingkaran.

Garis singgung: bersentuhan di satu titik

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik, tanpa memotongnya. Di titik singgung itu, garis singgung tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang menuju titik tersebut. Sifat ketegaklurusan inilah kunci yang menghubungkan geometri dan aljabar.

Garis singgung lingkaran menyentuh lingkaran di tepat satu titik $(x_1, y_1)$ dan tegak lurus terhadap jari-jari yang menuju titik itu. Karena tegak lurus, hasil kali gradien garis singgung $m$ dengan gradien jari-jari selalu $-1$ .

Rumus gradien dari titik singgung

Ambil lingkaran berpusat $(a, b)$ . Jari-jari menuju titik singgung $(x_1, y_1)$ punya gradien $m_r = \frac{y_1 - b}{x_1 - a}$ . Karena garis singgung tegak lurus jari-jari, gradiennya adalah kebalikan negatif: $m = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$ . Begitu $m$ diketahui, persamaan garis singgung dirakit dengan rumus point-slope.

$y - y_1 = m(x - x_1), \quad m = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$

Arti tiap simbol: $(x_1, y_1)$ = titik singgung pada lingkaran; $(a, b)$ = pusat lingkaran; $m$ = gradien garis singgung (kebalikan negatif gradien jari-jari). Persamaan $y - y_1 = m(x - x_1)$ adalah bentuk point-slope umum untuk sebarang garis.

Pada plot di bawah, slider memindahkan titik singgung sepanjang lingkaran berpusat $(0,0)$ berjari-jari $5$ . Saat titik bergerak, gradien jari-jari dan gradien garis singgung berubah, dan keduanya selalu saling tegak lurus (hasil kali $= -1$ ).

Menyusun persamaan garis singgung

Setelah gradien $m$ ditemukan, langkah terakhir adalah memasangnya ke rumus $y - y_1 = m(x - x_1)$ . Substitusikan $m$ , $x_1$ , dan $y_1$ lalu sederhanakan. Untuk lingkaran khusus berpusat $(0,0)$ berjari-jari $r$ , ada rumus cepat: persamaan garis singgung di titik $(x_1, y_1)$ pada $x^2 + y^2 = r^2$ adalah $x_1 x + y_1 y = r^2$ . Rumus ini lahir dari substitusi langsung dan sering mempercepat soal ujian.

Plot di bawah memperlihatkan dua kasus: garis singgung di titik $(3, 4)$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ (gradien $-3/4$ ), dan garis singgung di titik $(-3, 4)$ (gradien $3/4$ ). Perhatikan bagaimana posisi titik di kuadran berbeda menghasilkan kemiringan garis singgung yang berbeda pula.

Soal garis singgung lingkaran rutin muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran). Pola umum: diberi persamaan lingkaran dan sebuah titik pada kelilingnya, ditanya persamaan garis singgungnya. Triknya: hitung gradien jari-jari pusat-ke-titik, ambil kebalikan negatifnya sebagai $m$ , lalu pasang ke $y - y_1 = m(x - x_1)$ . Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ , rumus cepat $x_1 x + y_1 y = r^2$ sering lebih kilat.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$ .

Substitusi $(3, 4)$ : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Ruas kiri sama dengan ruas kanan, jadi $(3, 4)$ memang pada lingkaran. Titik ini sah menjadi titik singgung.

Pusat $(0,0)$ . Gradien jari-jari menuju $(3,4)$ : $m_r = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ . Garis singgung tegak lurus jari-jari, jadi $m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}$ .

$y - y_1 = m(x - x_1)$ menjadi $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$ . Kalikan 4: $4y - 16 = -3x + 9$ , sehingga $3x + 4y - 25 = 0$ . Ini persamaan garis singgungnya. (Cek dengan rumus cepat $x_1 x + y_1 y = r^2$ : $3x + 4y = 25$ — sama.)

Latih kecepatan menghitung gradien singgung dari titik acak di bawah.

Jebakan: mengira gradien garis singgung sama dengan gradien jari-jari. Yang benar: keduanya saling tegak lurus, sehingga hasil kali gradiennya $= -1$ . Jika gradien jari-jari $\frac{4}{3}$ , maka gradien singgung adalah kebalikan negatifnya $-\frac{3}{4}$ — bukan $\frac{4}{3}$ .

Jebakan: menyusun persamaan garis singgung tanpa memverifikasi titik benar-benar pada lingkaran. Yang benar: substitusi dulu titik ke persamaan lingkaran. Bila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, titik itu di luar atau di dalam — tidak ada garis singgung di sana. Verifikasi dulu, baru hitung gradien.

Garis singgung menyentuh lingkaran di tepat satu titik.
Tegak lurus jari-jari: hasil kali gradien singgung dan jari-jari $= -1$ .
Gradien singgung: $m = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}$ dari pusat $(a,b)$ .
Persamaan: $y - y_1 = m(x - x_1)$ .
Rumus cepat untuk $x^2+y^2=r^2$ : $x_1 x + y_1 y = r^2$ .