Persamaan Simpangan, Kecepatan & Percepatan GHS — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membaca dan menyusun persamaan simpangan $y = A \sin(\omega t + \varphi)$ beserta turunan kecepatan dan percepatannya.

BeBan pegas yang bergetar naik-turun mengikuti pola yang sangat rapi: setiap gerakannya terulang sama persis, seperti kurva sinus yang hidup. Kalau kamu punya persamaan getarannya, kamu tahu di mana posisi beban, seberapa cepat, dan seberapa besar percepatannya pada sembarang detik — tanpa harus mengamatinya terus. Coba lihat sendiri di bawah bagaimana angka di rumus mengubah bentuk kurva.

Geser amplitudo, frekuensi sudut, dan fase, lalu amati bagaimana kurva simpangan berubah bentuk dan posisi.

Rumus inti getaran harmonis

Getaran harmonis sederhana (GHS) adalah gerak bolak-balik yang simpangannya mengikuti fungsi sinus (atau kosinus). Karena sinus berulang setiap $2\pi$ , getarannya pun berulang secara periodik — inilah yang membuat pegas, bandul, dan senar membentuk pola yang dapat diprediksi penuh.

$y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$

Arti tiap simbol: $y$ = simpangan (m), $A$ = amplitudo atau simpangan maksimum (m), $\omega$ = frekuensi sudut (rad/s), $t$ = waktu (s), $\varphi$ = fase awal (rad). Tanda di dalam sinus menentukan titik mula getaran.

Yang penting: nilai sinus selalu berada di antara $-1$ dan $1$ , sehingga simpangan $y$ tidak pernah melebihi $A$ atau kurang dari $-A$ . Amplitudo jadi batas atas dan batas bawah getaran. Sudut $(\omega t + \varphi)$ disebut fase getaran pada waktu $t$ ; ia menentukan di titik mana siklus saat ini berada.

Peran amplitudo

Amplitudo $A$ adalah jarak simpangan maksimum dari titik setimbang. Makin besar $A$ , makin jauh benda bergerak dari pusat — kurvanya makin tinggi-rendah. Tapi amplitudo tidak mengubah seberapa cepat getaran berulang; ia hanya mengubah “skala” naik-turunnya.

Geser slider $A$ pada kurva di bawah, lalu perhatikan bahwa kurva membesar-mengecil secara vertikal tanpa berubah bentuk atau posisi mendatarnya.

Frekuensi sudut dan periode

Frekuensi sudut $\omega$ mengatur seberapa cepat getaran berlangsung. Makin besar $\omega$ , makin cepat kurva sinus berayun naik-turun, sehingga satu siklus selesai dalam waktu lebih singkat. Hubungan dengan periode $T$ dan frekuensi $f$ adalah kunci:

$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

Arti tiap simbol: $\omega$ = frekuensi sudut (rad/s), $f$ = frekuensi (Hz, getaran per sekon), $T$ = periode (s, waktu satu getaran penuh). Satu siklus sinus = $2\pi$ radian, jadi waktu menyelesaikannya adalah $T = 2\pi/\omega$ .

Bayangkan jarum jam yang berputar penuh satu lingkaran (360° = $2\pi$ rad). Kalau jarum berputar cepat, ia kembali ke posisi awal dalam waktu singkat — begitulah $\omega$ besar membuat periode pendek. Sudut fase $\omega t$ adalah berapa “putaran” yang sudah ditempuh sejak $t = 0$ .

Pada kurva di bawah, pita arsiran menandai satu periode $T = 2\pi/\omega$ . Geser $\omega$ dan lihat pita menyempit saat getaran mempercepat.

Fase awal menggeser pola

Fase awal $\varphi$ menentukan titik mulai getaran. Kalau $\varphi = 0$ , getaran mulai dari simpangan nol lalu naik. Kalau $\varphi = \pi/2$ , getaran mulai dari puncak (simpangan maksimum). Fase awal tidak mengubah amplitudo atau periode — ia hanya menggeser seluruh kurva ke kiri atau kanan sepanjang sumbu waktu.

Geser slider $\varphi$ di bawah dan amati kurva bergeser tanpa berubah bentuk.

Turunan: kecepatan dan percepatan

Simpangan adalah fungsi waktu, sehingga kecepatan adalah turunannya terhadap waktu, dan percepatan adalah turunan kecepatan. Differensiasi fungsi sinus menggeser fasenya sebesar $\pi/2$ setiap kali diturunkan.

$v(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi)$

Arti tiap simbol: $v$ = kecepatan sesaat (m/s), $a$ = percepatan sesaat (m/s²), $A$ = amplitudo, $\omega$ = frekuensi sudut. Tanda minus pada $a$ menandakan percepatan selalu berlawanan arah dengan simpangan — itulah ciri gaya pemulih.

Tiga kurva di bawah menampilkan simpangan, kecepatan, dan percepatan secara serentak. Perhatikan dua hal penting: kecepatan maksimum terjadi saat simpangan nol (benda lewat titik setimbang), dan percepatan maksimum terjadi saat simpangan maksimum (benda di ujung).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah benda bergetar harmonis dengan persamaan $y = 0{,}05 \sin(4\pi t)$ (satuan meter dan sekon). Tentukan: (a) amplitudo, frekuensi sudut, dan periode; (b) kecepatan dan percepatan maksimumnya.

Bandingkan $y = 0{,}05 \sin(4\pi t)$ dengan bentuk baku $y = A \sin(\omega t)$ . Maka $A = 0{,}05$ m dan $\omega = 4\pi$ rad/s.

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5 \text{ s}.$ Jadi amplitudo 5 cm, frekuensi sudut $4\pi$ rad/s, dan periode 0,5 s.

Kecepatan maksimum $v_{\text{maks}} = A\omega = 0{,}05 \times 4\pi = 0{,}2\pi \approx 0{,}628$ m/s. Percepatan maksimum $a_{\text{maks}} = A\omega^2 = 0{,}05 \times (4\pi)^2 = 0{,}05 \times 16\pi^2 = 0{,}8\pi^2 \approx 7{,}90$ m/s².

Jebakan: menyamakan frekuensi sudut $\omega$ dengan frekuensi biasa $f$ . Yang benar: $\omega = 2\pi f$ — keduanya beda faktor $2\pi$ . Frekuensi $f$ dalam Hz (getaran per sekon); $\omega$ dalam rad/s. Soal sering memberi $f$ tetapi rumus memakai $\omega$ — kalikan dulu dengan $2\pi$ .

Jebakan: mengira percepatan maksimum terjadi di titik setimbang (karena kecepatan paling besar di sana). Yang benar: justru sebaliknya — percepatan maksimum terjadi di simpangan maksimum (ujung), dan nol di titik setimbang. Di ujung, gaya pemulih paling kuat menarik benda kembali.

Jebakan: lupa membaca satuan amplitudo. Yang benar: amplitudo adalah simpangan, satuannya meter (atau cm). Kalau persamaan $y$ dalam cm, maka $A$ juga dalam cm — jangan dicampur dengan meter saat menghitung kecepatan atau percepatan.

Persamaan simpangan GHS: $y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ .
Amplitudo $A$ = simpangan maksimum; tidak mengubah periode.
$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ ; makin besar $\omega$ , makin cepat getaran.
Fase awal $\varphi$ menggeser kurva, tidak mengubah amplitudo atau periode.
Kecepatan $v = A\omega\cos(\omega t + \varphi)$ ; percepatan $a = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi)$ .
Kecepatan maksimum di simpangan nol; percepatan maksimum di simpangan maksimum.