Hukum Peluruhan & Waktu Paruh — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung sisa inti radioaktif dan aktivitasnya lewat hukum peluruhan eksponensial serta konsep waktu paruh.

Sebuah arkeolog menemukan tulang di gua. Ia mengirimkannya ke lab, dan beberapa minggu kemudian lab melaporkan: tulang itu berusia 12.000 tahun. Bagaimana mungkin? Rahasianya adalah karbon-14, isotop radioaktif yang terus meluruh dengan ritme yang sangat teratur. Tiap 5.730 tahun, separuh karbon-14 di alam lenyap — dan pola peluruhan itu seperti jam super-akurat yang berjalan miliaran tahun. Geser slider waktu di bawah dan saksikan kurva peluruhan eksponensial yang lahir dari keacakan murni.

Geser slider waktu dan amati jumlah inti yang tersisa meluruh secara eksponensial, separuh lenyap tiap waktu paruh.

Peluruhan: keacakan individual, ritme kolektif

Setiap inti radioaktif tidak stabil — suatu saat ia akan meluruh menjadi inti yang lebih stabil, memancarkan partikel (alfa, beta) atau foton (gamma). Yang aneh: tiap inti meluruh pada waktu yang sepenuhnya acak. Tidak ada tanda, tidak ada pemicu luar, tidak ada “usia” yang bisa diukur. Tetapi ketika kamu punya miliaran inti sekaligus, keacakan individu menyirihkan pola yang sangat teratur — sebagian besar inti yang tersisa berkurang secara eksponensial. Inilah hukum peluruhan.

Waktu paruh ( $T_{1/2}$ ) adalah selang waktu yang diperlukan agar separuh inti radioaktif dalam suatu sampel meluruh. Setelah satu waktu paruh tersisa 50% inti, setelah dua waktu paruh tersisa 25%, setelah tiga tersisa 12,5%, dan seterusnya. Waktu paruh khas untuk tiap isotop dan tak dapat diubah (tidak bergantung suhu, tekanan, atau ikatan kimia).

Bayangkan kamu punya 1.000 koin yang masing-masing dilempar tiap menit; yang jatuh “angka” dibuang. Tak ada yang tahu koin mana yang akan keluar angka pada lemparan tertentu, tapi secara statistik sekitar setengahnya akan keluar angka tiap menit. Setelah satu menit tersisa ~500, dua menit ~250, tiga menit ~125. Pola peluruhan lahir dari “lemparan dadu” inti yang jumlahnya tak terhitung.

Hukum peluruhan eksponensial

Bila sebuah sampel mula-mula berisi $N_0$ inti radioaktif, jumlah inti yang tersisa setelah waktu $t$ mengikuti rumus eksponensial. Konstanta peluruhan $\lambda$ (kemungkinan peluruhan per inti per satuan waktu) berbanding terbalik dengan waktu paruh: makin cepat isotop meluruh (waktu paruh pendek), makin besar $\lambda$ .

$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Arti tiap simbol: $N(t)$ = jumlah inti tersisa pada waktu $t$ , $N_0$ = jumlah inti mula-mula, $\lambda$ = konstanta peluruhan (per sekon), $t$ = waktu (s), $T_{1/2}$ = waktu paruh (s), $e \approx 2{,}718$ (bilangan Euler). Karena $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ , rumus dapat juga ditulis $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ .

Grafik di bawah menunjukkan berapa pecahan inti yang tersisa setelah $n$ waktu paruh. Setelah 1 paruh tersisa 50%, 2 paruh 25%, 3 paruh 12,5%, 4 paruh 6,25% — pola geometri yang tak pernah benar-benar mencapai nol (tapi praktis lenyap setelah ~10 paruh).

Aktivitas: laju peluruhan sampel

Aktivitas ( $A$ ) adalah jumlah peluruhan per satuan waktu — alias laju peluruhan sampel. Makin banyak inti tersisa, makin tinggi aktivitas (lebih banyak “dadu” yang dilempar per detik). Aktivitas juga ikut meluruh eksponensial dengan waktu paruh yang sama. Satuan SI aktivitas adalah becquerel (Bq) = 1 peluruhan per sekon; satuan tradisional curie (Ci) = $3{,}7 \times 10^{10}$ Bq.

$A(t) = \lambda \, N(t) = A_0 \, e^{-\lambda t}$

Arti tiap simbol: $A(t)$ = aktivitas pada waktu $t$ (Bq), $\lambda$ = konstanta peluruhan (s $^{-1}$ ), $N(t)$ = jumlah inti tersisa, $A_0 = \lambda N_0$ = aktivitas mula-mula. Karena $N$ dan $A$ berkaitan linier ( $A = \lambda N$ ), keduanya meluruh dengan laju yang sama — kunci penanggalan radiometrik.

Grafik di bawah memperlihatkan aktivitas yang meluruh eksponensial. Geser slider aktivitas awal dan waktu paruh.

Penanggalan radiometrik: isotop sebagai jam purba

Aplikasi paling dikenal hukum peluruhan adalah penanggalan radiometrik. Isotop dengan waktu paruh panjang menjadi “jam” yang memungkinkan penentuan umur benda purba. Karbon-14 ( $T_{1/2} = 5.730$ tahun) dipakai untuk artefak dan fosil berumur ratusan sampai 50.000 tahun; uranium-238 ( $T_{1/2} = 4{,}5$ miliar tahun) dipakai untuk batuan; kalium-40 ( $T_{1/2} = 1{,}25$ miliar tahun) untuk batuan volkanik.

$t = -\frac{T_{1/2}}{\ln 2} \, \ln\!\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \, \ln\!\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)$

Arti tiap simbol: $t$ = umur sampel, $T_{1/2}$ = waktu paruh isotop, $A_0$ = aktivitas mula-mula (atau rasio isotop awal), $A(t)$ = aktivitas sampel saat ini. Bila aktivitas tersisa separuh ( $A/A_0 = 0{,}5$ ), umur $t = T_{1/2}$ . Bila tersisa 25%, umur $2T_{1/2}$ .

Grafik di bawah memperlihatkan bagaimana rasio karbon-14 tersisa menentukan umur artefak. Geser slider umur untuk melihat persentase C-14 yang tersisa.

Walaupun fisika inti tidak masuk cakupan resmi TKA Fisika (kelistrikan TKA terbatas statis + arus searah), peluruhan radioaktif dan waktu paruh adalah materi wajib ujian sekolah kelas 12 dan sering muncul di olimpiade. Tip soal lazim: (1) hitung sisa inti setelah $n$ waktu paruh ( $N = N_0/2^n$ ); (2) hitung umur artefak dari rasio aktivitas; (3) konversi antara $\lambda$ dan $T_{1/2}$ . Jebakan klasik: menganggap setelah dua waktu paruh tersisa nol (sebenarnya 25%); atau lupa bahwa peluruhan tak bisa dipercepat/diperlambat oleh kondisi luar (suhu, tekanan) — inilah dasar keandalan penanggalan radiometrik.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah sampel kayu arkeologi memiliki aktivitas karbon-14 sebesar 25% dari aktivitas kayu hidup saat ini. Waktu paruh karbon-14 adalah 5.730 tahun. (a) Berapa umur kayu itu? (b) Sebuah sampel mula-mula berisi $N_0 = 8.000$ inti iodin-131 ( $T_{1/2} = 8$ hari). Berapa inti tersisa setelah 24 hari?

Rasio aktivitas $A/A_0 = 25\% = 0{,}25 = (1/2)^2$ . Artinya aktivitas sudah melalui 2 waktu paruh, karena tiap paruh membagi rasio dengan 2: $1 \to 0{,}5 \to 0{,}25$ .

Umur $t = n \times T_{1/2} = 2 \times 5.730 = 11.460$ tahun. Jadi kayu itu berusia sekitar 11.500 tahun — kemungkinan artefak dari akhir Zaman Es.

24 hari $= 3 \times 8$ hari $= 3$ waktu paruh. Sisa $N = N_0 / 2^3 = 8.000 / 8 = 1.000$ inti. Jadi dari 8.000 inti awal, tersisa 1.000 inti setelah 24 hari.

Jebakan: menganggap setelah dua waktu paruh inti tersisa nol. Yang benar: setelah 1 paruh tersisa 50%, 2 paruh 25%, 3 paruh 12,5% — pola geometri yang tak pernah benar-benar mencapai nol secara matematis. Secara praktis, sisa inti menjadi tak terdeteksi setelah ~8-10 waktu paruh.

Jebakan: keliru satuan waktu — mencampur hari dan tahun, atau menit dan detik, dalam satu perhitungan. Yang benar: pastikan $t$ dan $T_{1/2}$ (atau $\lambda$ ) dalam satuan yang sama sebelum substitusi. Karbon-14 ( $T_{1/2}$ dalam tahun) tak boleh dicampur dengan aktivitas iodin-131 ( $T_{1/2}$ dalam hari) tanpa konversi.

Jebakan: mengira peluruhan bisa dipercepat dengan menaikkan suhu atau tekanan. Yang benar: peluruhan radioaktif adalah proses inti yang tak bergantung kondisi luar (suhu, tekanan, ikatan kimia) — inilah dasar keandalan penanggalan radiometrik. Reaksi kimia hanya melibatkan elektron terluar, bukan inti.

Hukum peluruhan: $N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$ , dengan $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ .
Waktu paruh $T_{1/2}$ = waktu agar separuh inti meluruh; khas tiap isotop, tak bergantung kondisi luar.
Setelah $n$ waktu paruh, tersisa $N_0/2^n$ inti (50% → 25% → 12,5% → …).
Aktivitas $A = \lambda N$ ; meluruh pada laju yang sama dengan $N$ ; satuan becquerel (Bq).
Penanggalan radiometrik: $t = (T_{1/2}/\ln 2)\ln(A_0/A)$ — kunci menentukan umur fosil dan batuan.
Peluruhan lahir dari keacakan individu, tapi ritme kolektif sangat teratur.